Équation cartésienne d'un plan

Énoncé

a) Déterminer une équation cartésienne du plan P passant par A(2; -1; 3) et de vecteur normal n(1; 2; -1). b) Le point B(0; 1; 1) appartient-il à P ?

Indice : a) ax + by + cz + d = 0 avec les coordonnées de n. Trouver d avec A P.

Correction

1. Étape 1 : L'équation cartésienne d'un plan est directement lisible sur son vecteur normal. Équation cartésienne : Plan de vecteur normal n(a\,;b\,;c) : [formule] 👉 Les coefficients de x, y, z SONT les coordonnées du vecteur normal. C'est la relation la plus utile du chapitre, et elle se lit dans les deux sens : on a n on écrit l'équation à d près ; on a l'équation on lit n immédiatement. Il ne reste alors qu'à trouver d, en utilisant un point du plan.
2. Étape 2 : a) Le vecteur normal est n(1\,;2\,;-1), donc l'équation a la forme : [formule] Pour trouver d, on remplace par les coordonnées de A(2\,;-1\,;3), qui appartient au plan : 2 + 2 (-1) - 3 + d = 0 2 - 2 - 3 + d = 0 -3 + d = 0 [formule] Contrôle : on réinjecte A — 2 - 2 - 3 + 3 = 0 ✓

   P : x + 2y - z + 3 = 0

3. Étape 3 : b) Pour tester B(0\,;1\,;1), on remplace dans l'équation : 0 + 2 1 - 1 + 3 = 0 + 2 - 1 + 3 = 4 [formule] 👉 Le test d'appartenance à un plan est bien plus simple que pour une droite : une seule équation à vérifier, contre trois et un paramètre commun. C'est l'avantage de l'équation cartésienne. ℹ️ Et la valeur obtenue n'est pas qu'un verdict : |4| divisé par \| n\| = 6 donne la distance de B au plan, soit environ 1{,}63. On y reviendra.

   B P (valeur 4 0)

4. Étape 4 : L'erreur classique : Oublier le signe d'une coordonnée en remplaçant — typiquement 2 (-1) = -2 écrit +2. Le contrôle est immédiat : réinjecter le point de départ doit donner exactement 0. Si ce n'est pas le cas, d est faux. 👉 Et ne pas confondre les deux rôles : n donne les coefficients, le point donne d. À retenir : ax+by+cz+d=0 : les coefficients sont le vecteur normal. 👉 Et tester l'appartenance à un plan ne demande qu'un calcul — contre trois pour une droite.