Trouver un vecteur normal à un plan

Énoncé

Soit le plan P contenant les vecteurs u(1; 2; 0) et v(0; -1; 3). Déterminer un vecteur n(a; b; c) normal à P.

Indice : n doit vérifier u n = 0 et v n = 0. Système à 2 équations / 3 inconnues : fixer c par exemple.

Correction

1. Étape 1 : Un vecteur normal à un plan est orthogonal à tous les vecteurs de ce plan. Mais il suffit de le vérifier sur deux vecteurs non colinéaires — c'est ce qui rend le calcul possible. 👉 Pourquoi deux suffisent : deux vecteurs non colinéaires engendrent le plan tout entier ; tout autre vecteur du plan s'écrit comme leur combinaison, donc l'orthogonalité se propage automatiquement. Trouver un vecteur normal : Écrire les deux conditions n u = 0 et n v = 0, ce qui donne un système de 2 équations à 3 inconnues — donc une infinité de solutions. On en choisit une, en fixant librement l'une des inconnues. ⚠️ C'est normal qu'il y ait une infinité de solutions : tous les multiples d'un vecteur normal sont normaux eux aussi.
2. Étape 2 : On cherche n(a\,;b\,;c) orthogonal à u(1\,;2\,;0) et à v(0\,;-1\,;3) : [formule] Deux équations, trois inconnues : le système est sous-déterminé, et c'est attendu.

   cases a + 2b = 0 -b + 3c = 0 cases

3. Étape 3 : On exprime tout en fonction d'une inconnue. La seconde équation est la plus simple : -b + 3c = 0 b = 3c On reporte dans la première : a + 2(3c) = 0 a = -6c Tout dépend donc de c. On choisit c = 1 — le choix le plus simple qui donne des entiers : b = 3 et a = -6 [formule]

   n(-6\,;3\,;1)

4. Étape 4 : La vérification est obligatoire ici, car le calcul enchaîne deux substitutions : n u = (-6) 1 + 3 2 + 1 0 = -6 + 6 + 0 = 0 ✓ n v = (-6) 0 + 3 (-1) + 1 3 = 0 - 3 + 3 = 0 ✓ ℹ️ N'importe quel multiple non nul convient : (6\,;-3\,;-1), (-12\,;6\,;2) ou (-3\,;1{,}5\,;0{,}5) sont tout aussi normaux. En choisissant c = 2 on aurait obtenu (-12\,;6\,;2) — le double, donc le même vecteur normal à un facteur près. C'est pourquoi une correction peut donner un vecteur différent du vôtre sans que vous ayez tort : il suffit de vérifier qu'ils sont colinéaires.

   n u = 0 \ ; n v = 0

5. Étape 5 : L'erreur classique : Chercher la solution du système et se bloquer parce qu'il en manque une équation. Un système à 2 équations et 3 inconnues doit avoir une infinité de solutions — et c'est géométriquement nécessaire, puisque tous les multiples d'un vecteur normal sont normaux. Il ne faut donc pas chercher à le « fermer » : on fixe une inconnue et l'on avance. 👉 Choisir la valeur qui donne des entiers rend la suite plus agréable : ici c = 1 plutôt que c = 1{3}. À retenir : Deux conditions d'orthogonalité suffisent, sur deux vecteurs non colinéaires du plan. 👉 Et le résultat n'est pas unique : deux vecteurs normaux d'un même plan sont toujours colinéaires entre eux.