Orthogonalité de deux vecteurs

Énoncé

Pour quelle valeur du réel m les vecteurs u(m; 2; -1) et v(3; m-1; 4) sont-ils orthogonaux ?

Indice : Écrire u v = 0 et résoudre.

Correction

1. Étape 1 : Une équation à une inconnue, déguisée en question de géométrie. Orthogonalité : [formule] 👉 La démarche : on calcule le produit scalaire en fonction de m — ce qui donne une expression algébrique — puis on l'annule. ⚠️ Le seul soin à prendre est le développement de 2(m-1) : c'est là qu'on perd un signe.
2. Étape 2 : u(m\,;2\,;-1) et v(3\,;m-1\,;4) : u v = m 3 + 2 (m-1) + (-1) 4 On développe chaque terme séparément : = 3m + (2m - 2) - 4 = 3m + 2m - 2 - 4 [formule] ⚠️ Noter que 2(m-1) = 2m - 2 : les deux termes sont multipliés par 2.

   u v = 5m - 6

3. Étape 3 : L'orthogonalité s'écrit : 5m - 6 = 0 5m = 6 [formule] Vérification — indispensable, et rapide. Avec m = 1{,}2 : u(1{,}2\,;2\,;-1) et v(3\,;0{,}2\,;4) u v = 1{,}2 3 + 2 0{,}2 + (-1) 4 = 3{,}6 + 0{,}4 - 4 = 0 ✓

   m = 6{5}

4. Étape 4 : L'erreur classique : Développer 2(m-1) en 2m - 1. On obtiendrait 5m - 5 = 0, donc m = 1 — un nombre plus « joli », ce qui rend l'erreur d'autant plus crédible. La vérification la démasque : avec m=1, le produit scalaire vaut 3 + 0 - 4 = -1 0. 👉 Vérifier une solution en la réinjectant coûte dix secondes et attrape toutes les erreurs de développement. À retenir : Orthogonalité produit scalaire nul — une équation, pas une figure. 👉 Et un résultat « moins joli » (6{5}) n'est pas suspect en soi. Ce qui tranche est la vérification, pas l'esthétique.