Produit scalaire et angle

Énoncé

Soient u(2; 1; -1) et v(1; -1; 3). a) Calculer u v. b) Calculer |u| et |v|. c) En déduire le cosinus de l'angle (u, v) et donner sa valeur approchée à 0{,}1°.

Indice : a) u v = xx' + yy' + zz'. c) = {u v}{|u| |v|}.

Correction

1. Étape 1 : Le produit scalaire de l'espace se calcule comme dans le plan, avec un terme de plus. Produit scalaire et angle : [formule] 👉 Le signe du produit scalaire donne déjà la réponse à moitié : positif angle aigu (moins de 90°) · nul droit · négatif obtus (plus de 90°) Ici le produit vaudra -2, donc on sait avant tout calcul que l'angle dépasse 90°. C'est le contrôle de plausibilité du résultat final.
2. Étape 2 : a) u(2\,;1\,;-1) et v(1\,;-1\,;3) : u v = 2 1 + 1 (-1) + (-1) 3 = 2 - 1 - 3 [formule] 👉 Négatif : l'angle sera donc obtus. On le saura avant même de calculer le cosinus.

   u v = -2

3. Étape 3 : b) Les deux normes : \| u\| = 2^2+1^2+(-1)^2 = 4+1+1 = 6 \| v\| = 1^2+(-1)^2+3^2 = 1+1+9 = 11 [formule] ℹ️ On garde les valeurs exactes : les arrondir maintenant propagerait une erreur dans le cosinus, puis dans l'angle.

   \| u\| = 6 \ ; \| v\| = 11

4. Étape 4 : c) On applique la formule, en regroupant les racines : = -2{ 6 11} = -2{66} 66 8{,}124, donc -2{8{,}124} -0{,}246 [formule] Contrôles, tous deux immédiats : le cosinus est bien dans [-1\,;1] ✓ (un cosinus hors de cet intervalle signale une erreur de calcul) l'angle est obtus, conformément au signe négatif prévu en a) ✓

   104{,}3°

5. Étape 5 : L'erreur classique : Arrondir les normes avant de calculer le cosinus, ou oublier le signe moins. Sans le signe, on obtiendrait 75{,}7° — l'angle supplémentaire, donc un résultat plausible en apparence. Seul le contrôle par le signe du produit scalaire le démasque. 👉 6 11 = 66 : regrouper sous une seule racine évite deux arrondis successifs. À retenir : Le signe du produit scalaire donne la nature de l'angle avant tout calcul. 👉 Et || 1 est un contrôle universel : une valeur hors de [-1\,;1] est nécessairement une erreur.