Position relative de deux droites

Énoncé

Soient les droites : D_1 : cases x = 1 + 2t y = -t z = 3 + t cases et D_2 : cases x = 5 + 4s y = -2 - 2s z = 5 + 2s cases. Étudier leur position relative.

Indice : Comparer les vecteurs directeurs. S'ils sont colinéaires, tester si un point d'une droite appartient à l'autre.

Correction

1. Étape 1 : Deux droites de l'espace peuvent occuper quatre positions relatives — une de plus que dans le plan. L'arbre de décision : Les vecteurs directeurs sont-ils colinéaires ? oui parallèles ou confondues : tester si un point de l'une appartient à l'autre ; non sécantes ou non coplanaires : résoudre le système d'intersection. ⚠️ Le cas « non coplanaires » n'existe pas dans le plan, et c'est la nouveauté de l'espace : deux droites peuvent n'être ni parallèles ni sécantes — elles se croisent « à des étages différents », comme deux couloirs superposés d'un bâtiment. 👉 Ici les vecteurs directeurs seront colinéaires, donc on est dans la première branche.
2. Étape 2 : Les vecteurs directeurs se lisent sur les coefficients de t et de s : u_1(2\,;-1\,;1) pour D_1 et u_2(4\,;-2\,;2) pour D_2. Les trois rapports : 4{2} = 2, -2{-1} = 2, 2{1} = 2 — tous égaux. [formule] Les droites sont donc parallèles ou confondues. Il reste à trancher.

   u_2 = 2\,u_1

3. Étape 3 : Le test : on prend un point de D_1 et l'on regarde s'il est sur D_2. Avec t = 0 dans D_1 : A(1\,;0\,;3). A D_2 ? On cherche s tel que les trois équations soient satisfaites. Première : 1 = 5 + 4s 4s = -4 s = -1. Vérification dans les deux autres : y : -2 - 2 (-1) = -2 + 2 = 0 ✓ z : 5 + 2 (-1) = 5 - 2 = 3 ✓ A appartient donc à D_2 : [formule]

   D_1 = D_2

4. Étape 4 : 👉 Deux systèmes très différents décrivent donc la même droite. C'est le point à retenir de cet exercice : une droite a une infinité de représentations paramétriques, et l'on ne peut pas les comparer « à vue ». Ici D_2 emploie un vecteur directeur deux fois plus grand et un point de départ différent — mais le trajet parcouru est identique. ℹ️ Correspondance entre les paramètres : le point de D_1 obtenu pour t est celui de D_2 obtenu pour s = t-2{2}. Deux façons de parcourir la même droite, à des vitesses différentes.

   une droite a une infinité de représentations

5. Étape 5 : L'erreur classique : Conclure « parallèles » dès que les vecteurs directeurs sont colinéaires, sans faire le test du point. Les deux droites sont ici confondues, ce qui est un cas très différent : elles ont tous leurs points en commun au lieu d'aucun. Le test du point est obligatoire, et il ne coûte que trois vérifications. 👉 Et pour le cas « non colinéaires », le même piège existe en miroir : il faut résoudre le système pour distinguer sécantes de non coplanaires. À retenir : Quatre positions dans l'espace, contre trois dans le plan — non coplanaires est la nouveauté. 👉 Et deux systèmes d'apparence différente peuvent décrire la même droite : seule la vérification tranche.