Représentation paramétrique d'une droite

Énoncé

Soient A(1; -2; 3) et B(4; 0; -1). a) Donner une représentation paramétrique de la droite (AB). b) Le point M(7; 2; -5) appartient-il à (AB) ?

Indice : Vecteur directeur de (AB) : AB. Pour b), vérifier qu'un même t satisfait les 3 équations.

Correction

1. Étape 1 : Une droite de l'espace ne se décrit pas par une équation unique — contrairement au plan, où y = ax+b suffisait. Représentation paramétrique : Droite passant par A(x_A\,;y_A\,;z_A) et de vecteur directeur u(a\,;b\,;c) : [formule] 👉 Comment la lire : le point A donne les constantes, le vecteur directeur donne les coefficients de t. Chaque valeur de t produit un point de la droite ; on la parcourt en faisant varier t. ⚠️ Une droite a une infinité de représentations — on peut changer de point de départ ou multiplier le vecteur directeur. Deux systèmes d'apparence différente peuvent donc décrire la même droite.
2. Étape 2 : a) On calcule d'abord le vecteur directeur, qui est simplement AB : AB(4-1\,;\,0-(-2)\,;\,-1-3) = (3\,;\,2\,;\,-4) On prend A(1\,;-2\,;3) comme point de départ : [formule] Contrôle : t = 0 donne A(1\,;-2\,;3) ✓ et t = 1 donne (4\,;0\,;-1), c'est-à-dire B ✓ 👉 Ces deux vérifications sont gratuites et attrapent toute erreur de signe.

   cases x = 1+3t y = -2+2t z = 3-4t cases

3. Étape 3 : b) Pour tester si M(7\,;2\,;-5) appartient à la droite, on cherche une valeur de t qui convienne aux TROIS équations. On part de la première, qui donne t : 7 = 1 + 3t 3t = 6 t = 2 ⚠️ Il faut maintenant VÉRIFIER cette valeur dans les deux autres — c'est l'étape qu'on saute : y : -2 + 2 2 = -2 + 4 = 2 ✓ (on voulait 2) z : 3 - 4 2 = 3 - 8 = -5 ✓ (on voulait -5) Les trois équations sont satisfaites pour le même t : [formule]

   t = 2 convient aux trois M (AB)

4. Étape 4 : L'erreur classique : Calculer t sur une seule équation et conclure sans vérifier les deux autres. C'est faux dans un cas sur deux : un point peut avoir la bonne abscisse sans être sur la droite. Prenons M'(7\,;0\,;-5) — la première équation donne toujours t=2, mais y vaudrait alors 2 et non 0. M' n'est pas sur la droite, et seule la vérification le dit. 👉 Le test d'appartenance exige les trois équations, avec LE MÊME t. À retenir : Le point donne les constantes, le vecteur directeur les coefficients de t. 👉 Et deux contrôles gratuits sur toute représentation : t=0 doit redonner le point de départ, t=1 le point d'arrivée si l'on a pris AB.