Colinéarité de vecteurs

Énoncé

Les vecteurs suivants sont-ils colinéaires ? a) u(2; -1; 4) et v(-6; 3; -12). b) u(1; 2; 3) et w(2; 4; 5).

Indice : Deux vecteurs sont colinéaires ssi leurs coordonnées sont proportionnelles.

Correction

1. Étape 1 : Deux vecteurs sont colinéaires lorsque l'un est un multiple de l'autre — géométriquement, lorsqu'ils ont la même direction. Tester la colinéarité par les rapports : On calcule les trois rapports de coordonnées. S'ils sont tous égaux, les vecteurs sont colinéaires, et la valeur commune est le coefficient. 👉 Il faut les trois : deux rapports égaux ne suffisent pas, comme le montre la question b). C'est précisément là qu'on se trompe — on vérifie deux rapports, ils coïncident, et l'on conclut trop vite. ⚠️ Cette méthode suppose qu'aucune coordonnée du dénominateur n'est nulle. Si c'est le cas, on revient à la définition : chercher k tel que v = k\, u, coordonnée par coordonnée.
2. Étape 2 : a) u(2\,;-1\,;4) et v(-6\,;3\,;-12). Les trois rapports : -6{2} = -3 3{-1} = -3 -12{4} = -3 Les trois valent -3, donc [formule] ℹ️ Le coefficient est négatif : les vecteurs ont la même direction mais des sens opposés. Cela ne change rien à la colinéarité — une direction est une droite, pas une flèche.

   v = -3\, u

3. Étape 3 : b) u(1\,;2\,;3) et w(2\,;4\,;5) : 2{1} = 2 4{2} = 2 5{3} 1{,}67 Les deux premiers coïncident, le troisième non. [formule] 👉 C'est exactement le piège annoncé. Un élève pressé s'arrête après deux rapports égaux et conclut « colinéaires ». Il faut aller jusqu'au bout : il suffit d'un rapport différent pour tout invalider. ⚠️ Et le contrôle par la définition confirme : si w = 2 u, la troisième coordonnée devrait valoir 2 3 = 6, alors qu'elle vaut 5.

   5{3} 2 non colinéaires

4. Étape 4 : L'erreur classique : S'arrêter après deux rapports égaux. Dans le plan il n'y a que deux coordonnées, donc deux rapports suffisent — et l'habitude prise en Première se transporte à tort dans l'espace. Il en faut trois. 👉 Et une conséquence géométrique qui vaut d'être connue : dans le plan, deux vecteurs non colinéaires suffisent à tout engendrer. Dans l'espace, il en faut trois, et c'est pourquoi une coordonnée peut « trahir » ce que les deux autres laissaient croire. À retenir : Colinéarité les TROIS rapports sont égaux. 👉 Et le coefficient peut être négatif : même direction, sens opposé — c'est toujours de la colinéarité.