Coordonnées, norme, milieu dans l'espace

Énoncé

Soient A(2; -1; 3) et B(4; 5; -1). a) Donner les coordonnées du vecteur AB. b) Calculer la norme |AB| (la distance AB). c) Donner les coordonnées du milieu I de [AB].

Indice : Coordonnées de AB : différence des coordonnées. Norme : x^2 + y^2 + z^2. Milieu : moyenne des coordonnées.

Correction

1. Étape 1 : La géométrie dans l'espace reprend exactement les formules du plan, avec une coordonnée de plus. Les trois formules de base : [formule] [formule] 👉 Rien de nouveau à mémoriser : ce sont les formules de Première, avec un troisième terme ajouté partout. Si l'on sait les faire dans le plan, on sait les faire dans l'espace. ⚠️ Le seul vrai piège est le signe des soustractions : AB se calcule « arrivée moins départ », et l'erreur produit le vecteur opposé — donc une direction correcte mais un sens inversé.
2. Étape 2 : a) A(2\,;-1\,;3) et B(4\,;5\,;-1), donc B moins A : x : 4 - 2 = 2 y : 5 - (-1) = 5 + 1 = 6 z : -1 - 3 = -4 [formule] ⚠️ La coordonnée y est celle où l'on se trompe : soustraire un nombre négatif revient à l'ajouter. 5 - (-1) = 6, pas 4.

   AB(2\,;6\,;-4)

3. Étape 3 : b) La norme, c'est-à-dire la distance AB : \|AB\| = 2^2 + 6^2 + (-4)^2 = 4 + 36 + 16 = 56 On simplifie le radical en cherchant un carré parfait dans 56 : 56 = 4 14. [formule] 👉 Les carrés effacent les signes : le -4 donne +16. Une norme est donc toujours positive, ce qui est un contrôle immédiat.

   AB = 214 7{,}48

4. Étape 4 : c) Le milieu est la moyenne coordonnée par coordonnée : I(2+4{2}\,;\,-1+5{2}\,;\,3+(-1){2}) = (6{2}\,;\,4{2}\,;\,2{2}) [formule] Contrôle : chaque coordonnée de I doit être entre celles de A et de B ✓ (3 entre 2 et 4, 2 entre -1 et 5, 1 entre -1 et 3). ⚠️ Ici on additionne puis on divise, alors qu'en a) on soustrayait. Confondre les deux est l'erreur la plus fréquente du début de chapitre.

   I(3\,;2\,;1)

5. Étape 5 : L'erreur classique : Soustraire pour le milieu, ou additionner pour le vecteur. Le repère : un vecteur est un déplacement (donc une différence), un milieu est une position moyenne (donc une somme divisée par 2). Et le contrôle du milieu est gratuit : ses coordonnées sont entre celles des deux points. À retenir : Les formules du plan, avec un z en plus. Rien de neuf. 👉 Et deux contrôles gratuits : une norme est positive, un milieu est entre les deux points.