Position relative de deux droites

Énoncé

Soient les droites : - d_1 : y = 2x + 1 - d_2 : y = 2x - 3 - d_3 : y = -1{2}x + 4 a) Déterminer les positions relatives de d_1 et d_2. b) Déterminer le point d'intersection de d_1 et d_3. c) Les droites d_2 et d_3 sont-elles perpendiculaires ? Justifier. d) Déterminer l'équation de la droite d_4 parallèle à d_3 passant par l'origine.

Indice : Deux droites sont parallèles ssi même pente. Deux droites (non verticales) sont perpendiculaires ssi a_1 a_2 = -1.

Correction

1. Étape 1 : **a)** d_1 et d_2 ont la même pente a = 2 mais b_1 = 1 b_2 = -3. Elles sont **parallèles strictement** (non confondues).
2. Étape 2 : **b)** On résout 2x + 1 = -1{2}x + 4.

   2x + 1{2}x = 3 5{2}x = 3 x = 6{5}

3. Étape 3 : Puis y = 2 6{5} + 1 = 12{5} + 1 = 17{5}. Le point d'intersection est (6{5} ; 17{5}).
4. Étape 4 : **c)** a_{d_2} a_{d_3} = 2 (-1{2}) = -1. Donc d_2 et d_3 sont **perpendiculaires**.
5. Étape 5 : **d)** d_4 est parallèle à d_3 donc a_4 = -1{2}. Elle passe par l'origine (0 ; 0) donc b = 0. L'équation est y = -1{2}x.