Position relative de deux droites

Énoncé

Soient les droites : - d_1 : y = 2x + 1 - d_2 : y = 2x - 3 - d_3 : y = -1{2}x + 4 a) Déterminer les positions relatives de d_1 et d_2. b) Déterminer le point d'intersection de d_1 et d_3. c) Les droites d_2 et d_3 sont-elles perpendiculaires ? Justifier. d) Déterminer l'équation de la droite d_4 parallèle à d_3 passant par l'origine.

Indice : Deux droites sont parallèles ssi même pente. Deux droites (non verticales) sont perpendiculaires ssi a_1 a_2 = -1.

Correction

1. Étape 1 : Quatre questions sur trois droites, et trois notions à distinguer : parallélisme, intersection, et perpendicularité. Les trois critères : parallèles a = a' sécantes a a' perpendiculaires a a' = -1 (dans un repère orthonormé) 👉 Le troisième critère ne figure pas dans les leçons de ce chapitre : il se démontre en Première, avec le produit scalaire. On l'admet ici et on l'applique. ⚠️ Deux conditions d'emploi à connaître : il exige un repère orthonormé, et il ne s'applique pas à une droite verticale, qui n'a pas de coefficient directeur.
2. Étape 2 : a) d_1 : y = 2x + 1 et d_2 : y = 2x - 3 ont la même pente a = 2, donc elles sont parallèles. Et b_1 = 1 -3 = b_2, donc elles ne sont pas confondues : strictement parallèles.

   d_1 d_2 (strictement)

3. Étape 3 : b) d_1 et d_3 ont des pentes différentes (2 -1{2}), donc elles se coupent. On égale : 2x + 1 = -1{2}x + 4 2x + 1{2}x = 4 - 1 5{2}x = 3 x = 3 2{5} = 6{5} Puis y = 2 6{5} + 1 = 12{5} + 5{5} = 17{5} [formule] Vérification dans d_3 : -1{2} 6{5} + 4 = -3{5} + 20{5} = 17{5} ✓

   (6{5} \,;\, 17{5})

4. Étape 4 : c) On applique le critère de perpendicularité aux pentes de d_2 et d_3 : a_{d_2} a_{d_3} = 2 (-1{2}) = -1 Le produit vaut -1, donc d_2 et d_3 sont perpendiculaires. 👉 On peut retenir le critère sous une forme plus parlante : deux droites sont perpendiculaires quand l'une a pour pente l'opposé de l'inverse de l'autre. Ici l'inverse de 2 est 1{2}, et son opposé -1{2} ✓

   a_{d_2} a_{d_3} = -1 d_2 d_3

5. Étape 5 : d) d_4 est parallèle à d_3, donc elle a la même pente : a_4 = -1{2} Elle passe par l'origine O(0\,;\,0). Or l'ordonnée à l'origine est justement la valeur en x = 0 : b_4 = 0 [formule] 👉 Une droite passant par l'origine a toujours b = 0 : son équation est de la forme y = ax, et la fonction est alors dite linéaire (un cas particulier de fonction affine).

   d_4 : y = -1{2}x

6. Étape 6 : L'erreur classique : Appliquer a a' = -1 sans se demander si le repère est orthonormé. Dans un repère quelconque, deux droites peuvent paraître perpendiculaires à l'écran sans que le produit de leurs pentes vaille -1 — et réciproquement. Le critère n'a de sens que si les deux axes ont la même unité et sont eux-mêmes perpendiculaires. Second cas d'exclusion : une droite verticale n'a pas de coefficient directeur, donc le critère ne s'y applique pas — même si elle est perpendiculaire à toutes les horizontales. À retenir : Même pente parallèles · produit des pentes = -1 perpendiculaires · passe par l'origine b = 0. 👉 Et la lecture parlante du critère de perpendicularité : la pente de l'une est l'opposé de l'inverse de la pente de l'autre.