Fonction affine par morceaux (tarif téléphonique)

Énoncé

Un opérateur de téléphonie propose le tarif suivant : - Les 2 premières heures d'appel : 0,20 € par minute - Au-delà de 2 heures : 0,10 € par minute a) Exprimer le coût C(x) en fonction du nombre x de minutes (pour x 120 puis x > 120). b) Vérifier la continuité en x = 120. c) Calculer le coût pour 3 heures d'appel (180 minutes). d) Pour quel nombre de minutes le coût atteint-il 30 € ?

Indice : Pour x > 120, les 120 premières minutes coûtent 0{,}20 120 = 24 € et le reste coûte 0{,}10 € par minute.

Correction

1. Étape 1 : **a)** Pour 0 x 120 : C(x) = 0{,}20x. Pour x > 120 : C(x) = 24 + 0{,}10(x - 120) = 0{,}10x + 12.
2. Étape 2 : **b)** En x = 120 : 0{,}20 120 = 24 et 0{,}10 120 + 12 = 24 ✅. La fonction est continue.
3. Étape 3 : **c)** 180 > 120 donc C(180) = 0{,}10 180 + 12 = 18 + 12 = 30 €.
4. Étape 4 : **d)** On résout C(x) = 30. Si x > 120 : 0{,}10x + 12 = 30 0{,}10x = 18 x = 180.

   Le coût atteint 30 € pour x = 180 minutes (soit 3 heures).