Fonction affine par morceaux (tarif téléphonique)

Énoncé

Un opérateur de téléphonie propose le tarif suivant : - Les 2 premières heures d'appel : 0,20 € par minute - Au-delà de 2 heures : 0,10 € par minute a) Exprimer le coût C(x) en fonction du nombre x de minutes (pour x 120 puis x > 120). b) Vérifier la continuité en x = 120. c) Calculer le coût pour 3 heures d'appel (180 minutes). d) Pour quel nombre de minutes le coût atteint-il 30 € ?

Indice : Pour x > 120, les 120 premières minutes coûtent 0{,}20 120 = 24 € et le reste coûte 0{,}10 € par minute.

Correction

1. Étape 1 : Une fonction par morceaux : deux expressions différentes selon l'intervalle. Le point délicat n'est pas le calcul, c'est l'écriture du second morceau. Un tarif dégressif au-delà d'un seuil : Au-delà du seuil, on paie le prix du seuil, plus le tarif réduit sur ce qui dépasse : [formule] 👉 C'est cette forme qui garantit qu'il n'y a pas de saut de prix au passage du seuil : à la 121ᵉ minute, on ne repart pas de zéro, on continue à partir des 24 € déjà payés.
2. Étape 2 : a) Deux heures valent 120 minutes. Pour 0 x 120 : chaque minute coûte 0,20 €, donc C(x) = 0{,}20x Pour x > 120 : on a déjà payé 0{,}20 120 = 24 €, puis chaque minute supplémentaire coûte 0,10 €. Il y en a (x - 120) : C(x) = 24 + 0{,}10(x - 120) = 24 + 0{,}10x - 12 = 0{,}10x + 12

   C(x) = 0{,}20x si x 120 ; C(x) = 0{,}10x + 12 si x > 120

3. Étape 3 : b) Vérifier qu'il n'y a pas de saut en x = 120, c'est vérifier que les deux expressions donnent la même valeur en ce point : premier morceau : 0{,}20 120 = 24 second morceau : 0{,}10 120 + 12 = 12 + 12 = 24 Les deux valent 24 ✓ 👉 Concrètement : la facture ne bondit pas au passage de la 120ᵉ minute. Elle continue à monter, simplement moins vite — la droite change de pente, pas de hauteur. C'est ce qui rend le tarif honnête.

   C(120) = 24 € par les deux expressions

4. Étape 4 : c) Trois heures valent 180 minutes, et 180 > 120 : c'est donc le second morceau qui s'applique. C(180) = 0{,}10 180 + 12 = 18 + 12 = 30 € d) On cherche C(x) = 30. Il faut examiner les deux morceaux. Sur [0\,;\,120] : le coût maximal y est C(120) = 24 € < 30 € — aucune solution possible. Sur ]120\,;+[ : 0{,}10x + 12 = 30 0{,}10x = 18 x = 180. Et 180 > 120 ✓ : la solution appartient bien au morceau où on l'a cherchée. Le coût atteint 30 € pour 180 minutes, soit 3 heures.

   C(180) = 30 €

5. Étape 5 : L'erreur classique : Résoudre sur le mauvais morceau — ou oublier de vérifier que la solution y appartient. Si l'on avait résolu 0{,}20x = 30, on aurait trouvé x = 150. Or 150 n'est pas dans [0\,;\,120] : cette valeur n'est donc pas une solution, malgré un calcul correct. C'est une solution de l'équation, pas du problème. À retenir : Écrire le second morceau comme « prix du seuil + tarif réduit sur le dépassement », puis vérifier le raccord. 👉 Et sur toute fonction par morceaux : après avoir résolu sur un morceau, vérifier que la solution y appartient vraiment. Sinon elle est à rejeter.