Intersection de deux droites (système)

Énoncé

Soit les droites d_1 : y = 3x - 5 et d_2 : y = -x + 7. a) Montrer que d_1 et d_2 sont sécantes. b) Déterminer les coordonnées de leur point d'intersection en résolvant le système. c) Vérifier le résultat en substituant dans les deux équations.

Indice : Deux droites sont sécantes si leurs coefficients directeurs sont différents. Au point d'intersection, 3x - 5 = -x + 7.

Correction

  1. Étape 1 : Trois questions dans l'ordre logique d'une démonstration : d'abord prouver que le point existe, ensuite le calculer, enfin le vérifier. Les trois positions possibles : a a' sécantes : un point d'intersection, et un seul ; a = a' et b b' strictement parallèles : aucun point ; a = a' et b = b' confondues : une infinité. 👉 La question a) n'est donc pas une formalité : sans elle, on chercherait peut-être un point qui n'existe pas.
  2. Étape 2 : a) On compare les deux coefficients directeurs : d_1 : y = 3x - 5 donne a_1 = 3 ; d_2 : y = -x + 7 donne a_2 = -1. Comme a_1 a_2, les droites sont sécantes : elles se coupent en exactement un point.

    a_1 = 3 -1 = a_2 sécantes

  3. Étape 3 : b) Au point d'intersection, les deux expressions de y sont égales : 3x - 5 = -x + 7 3x + x = 7 + 5 4x = 12 x = 3 On reporte dans d_1 : y = 3 3 - 5 = 4 [formule]

    I(3\,;\,4)

  4. Étape 4 : c) Vérification dans d_2 — celle qui n'a pas servi au report : y = -3 + 7 = 4 ✓ Le point (3\,;\,4) appartient bien aux deux droites. 👉 Vérifier dans d_1 n'aurait rien prouvé : c'est elle qui a donné y, donc l'égalité y est automatique.
  5. Étape 5 : L'erreur classique : Chercher une intersection sans avoir vérifié qu'elle existe. Sur deux droites parallèles, l'équation 3x - 5 = 3x + 7 conduit à -5 = 7 : une absurdité. C'est ainsi que l'absence de solution se manifeste — et il faut savoir la lire comme telle, et non comme une erreur de calcul. À retenir : Comparer les pentes avant de résoudre. C'est gratuit, et cela dit d'avance combien de solutions attendre : une, aucune, ou une infinité. 👉 Et la vérification se fait toujours dans l'équation qui n'a pas servi.