Signe d'une fonction affine et inéquations
Énoncé
Dresser le tableau de signes de chaque expression puis résoudre l'inéquation associée :
a) f(x) = 3x - 9 ; résoudre f(x) 0.
b) g(x) = -2x + 8 ; résoudre g(x) > 0.
c) (2x - 6)(-x + 4) 0.
Indice : Pour a) et b), trouve la racine puis utilise le signe de a. Pour c), fais un tableau de signes avec les deux facteurs.
Correction
- Étape 1 : Le signe d'une fonction affine se lit sans calcul dès qu'on connaît sa racine et le signe de son coefficient.
Signe de ax + b :
ax + b s'annule en x = -b{a}, et il est du signe de a après cette valeur — donc du signe contraire avant.
👉 Cette règle vaut pour tout le lycée, et elle se retrouve en dix secondes si l'on doute : tester une valeur simple. Pour -2x + 8, prendre x = 0 donne 8, qui est positif — le facteur commence donc par +.
⚠️ C'est le cas des coefficients négatifs qui piège : le signe est alors « positif d'abord, négatif ensuite », soit l'inverse du cas habituel.
- Étape 2 : a) f(x) = 3x - 9 s'annule quand 3x = 9, donc en x = 3.
Le coefficient a = 3 est positif : f est donc négative avant 3, positive après.
| x | - | | 3 | | + |
|:---:|:---:|:---:|:---:|:---:|:---:|
| f(x) | | - | 0 | + | |
[formule]
Le crochet est fermé car l'inégalité est large et f(3) = 0.
S = [3 \,;\, +[
- Étape 3 : b) g(x) = -2x + 8 s'annule quand 2x = 8, donc en x = 4.
Le coefficient a = -2 est négatif : g est donc positive avant 4, négative après.
Contrôle : g(0) = 8 > 0 ✓ — le facteur commence bien par +.
| x | - | | 4 | | + |
|:---:|:---:|:---:|:---:|:---:|:---:|
| g(x) | | + | 0 | - | |
[formule]
Le crochet est ouvert car l'inégalité est stricte.
S = \, ]- \,;\, 4[
- Étape 4 : c) (2x-6)(-x+4) 0 : un produit, donc un tableau à trois lignes.
Racines : 2x - 6 = 0 x = 3, et -x + 4 = 0 x = 4.
Signes : 2x - 6 a un coefficient +2, donc - puis +. -x + 4 a un coefficient -1, donc + puis -.
| x | - | | 3 | | 4 | | + |
|:---:|:---:|:---:|:---:|:---:|:---:|:---:|:---:|
| 2x-6 | | - | 0 | + | | + | |
| -x+4 | | + | | + | 0 | - | |
| produit | | - | 0 | + | 0 | - | |
Le produit est positif ou nul entre les deux racines, bornes comprises :
[formule]
Contrôle : en x = 3{,}5, (1) (0{,}5) = 0{,}5 > 0 ✓ ; en x = 0, (-6)(4) = -24 < 0 ✓
S = [3 \,;\, 4]
- Étape 5 : L'erreur classique :
Appliquer « négatif puis positif » à un facteur de coefficient négatif.
En b), -2x + 8 est positif avant 4. Se tromper ici donne exactement le complémentaire de la bonne réponse — et en c), cela rendrait le produit positif là où il est négatif, donc l'ensemble solution serait faux sur les trois zones.
À retenir :
ax + b est du signe de a après sa racine.
👉 Et le contrôle qui ne coûte rien : tester une valeur simple dans chaque facteur avant de remplir le tableau. Dix secondes, contre un tableau entièrement à l'envers.