Problème de prix : coût fixe et variable

Énoncé

Un artisan fabrique des bijoux. Il a des frais fixes mensuels de 200 € (atelier, outils) et chaque bijou lui coûte 12 € de matière première. Il vend chaque bijou 20 €. a) Exprimer le coût total C(x) et la recette R(x) en fonction du nombre x de bijoux fabriqués et vendus. b) Déterminer le seuil de rentabilité (nombre minimal de bijoux à vendre pour ne pas perdre d'argent). c) Calculer le bénéfice pour 40 bijoux vendus.

Indice : Le bénéfice est B(x) = R(x) - C(x). Le seuil de rentabilité est atteint quand B(x) = 0.

Correction

1. Étape 1 : Trois fonctions à distinguer, et le vocabulaire économique est ici la vraie difficulté. Le vocabulaire, une fois pour toutes : coût : C(x) = frais fixes + coût unitaire x recette : R(x) = prix de vente x bénéfice : B(x) = R(x) - C(x) seuil de rentabilité : la valeur de x pour laquelle B(x) = 0 👉 « Frais fixes » veut dire qu'ils ne dépendent pas de x : ils vont dans le b de la fonction affine, jamais dans le a. C'est la confusion à éviter avant tout calcul.
2. Étape 2 : a) Pour x bijoux fabriqués et vendus : Coût : 200 € de frais fixes, plus 12 € par bijou : C(x) = 12x + 200 Recette : 20 € par bijou vendu, et rien de fixe : R(x) = 20x

   C(x) = 12x + 200 ; R(x) = 20x

3. Étape 3 : b) Le bénéfice est la différence : B(x) = R(x) - C(x) = 20x - (12x + 200) = 20x - 12x - 200 = 8x - 200 Le seuil de rentabilité est la valeur où le bénéfice s'annule : 8x - 200 = 0 x = 200{8} = 25 Il faut vendre au minimum 25 bijoux pour ne pas perdre d'argent. 👉 Le nombre 8 s'interprète, et cela vaut la peine de le voir : chaque bijou rapporte 20 - 12 = 8 € de marge, et il faut couvrir 200 € de frais fixes. D'où 200 8 = 25 bijoux, sans passer par l'équation.

   x = 25 bijoux

4. Étape 4 : c) Pour 40 bijoux : B(40) = 8 40 - 200 = 320 - 200 = 120 Le bénéfice est de 120 €. Contrôle par le détail : recette 20 40 = 800 €, coût 12 40 + 200 = 480 + 200 = 680 €, donc 800 - 680 = 120 € ✓

   B(40) = 120 €

5. Étape 5 : L'erreur classique : Oublier les frais fixes dans le calcul du bénéfice, et écrire B(40) = (20-12) 40 = 320 €. Les 8 € de marge par bijou servent d'abord à rembourser les 200 € de frais fixes ; seul l'excédent est du bénéfice. C'est précisément ce que dit le seuil de rentabilité : en dessous de 25 bijoux, la marge ne couvre même pas les frais. À retenir : [formule] 👉 Et vérifier le bénéfice par le détail (recette moins coût) plutôt que par la formule condensée : c'est plus long, mais c'est un contrôle indépendant.