Positions relatives de trois droites

Énoncé

Soient les droites : - d_1 : 2x - y + 3 = 0 - d_2 : 4x - 2y - 1 = 0 - d_3 : -x + 2y - 5 = 0 a) Mettre chaque droite sous forme réduite y = ax + b. b) Les droites d_1 et d_2 sont-elles parallèles ? c) Déterminer le point d'intersection de d_1 et d_3.

Indice : Pour la forme réduite, isole y. Deux droites parallèles ont le même coefficient directeur.

Correction

1. Étape 1 : Les trois équations sont données sous forme implicite (ax + by + c = 0). Avant toute comparaison, il faut les mettre sous forme réduite y = ax + b — c'est la seule où la pente se lit. Passer à la forme réduite : Isoler y, puis diviser tous les termes par son coefficient. ⚠️ « Tous les termes » est le point qui compte : diviser seulement celui en x et oublier la constante est l'erreur la plus fréquente de cet exercice.
2. Étape 2 : a) On isole y dans chacune. d_1 : 2x - y + 3 = 0 -y = -2x - 3 y = 2x + 3 d_2 : 4x - 2y - 1 = 0 -2y = -4x + 1 y = 2x - 1{2} d_3 : -x + 2y - 5 = 0 2y = x + 5 y = 1{2}x + 5{2} ⚠️ Pour d_2, on divise par -2 : -4x{-2} = 2x et 1{-2} = -1{2}. Les deux termes sont concernés.

   y = 2x + 3 ; y = 2x - 1{2} ; y = 1{2}x + 5{2}

3. Étape 3 : b) d_1 et d_2 ont le même coefficient directeur a = 2 : elles sont parallèles. Et comme 3 -1{2}, elles ne sont pas confondues : strictement parallèles. 👉 Sur les formes implicites d'origine, ce parallélisme n'était pas visible — 2x - y + 3 et 4x - 2y - 1 ne se ressemblent pas. C'est précisément pourquoi il faut passer par la forme réduite.

   d_1 d_2 (strictement)

4. Étape 4 : c) d_1 et d_3 ont des pentes différentes (2 1{2}), donc elles sont sécantes. On égale : 2x + 3 = 1{2}x + 5{2} 2x - 1{2}x = 5{2} - 3 3{2}x = -1{2} x = -1{2} 2{3} = -1{3} Puis y = 2 (-1{3}) + 3 = -2{3} + 9{3} = 7{3} [formule] Vérification dans d_3 : 1{2} (-1{3}) + 5{2} = -1{6} + 15{6} = 14{6} = 7{3} ✓

   (-1{3} \,;\, 7{3})

5. Étape 5 : L'erreur classique : Oublier de diviser le terme constant en passant à la forme réduite. Pour d_2, -2y = -4x + 1 donne y = 2x - 1{2}, et non y = 2x + 1. Une division porte sur toute l'expression. Contrôle : reprendre un point. Pour x = 0, la forme implicite 4(0) - 2y - 1 = 0 donne y = -1{2} ✓ — ce qui confirme la constante. À retenir : Forme réduite d'abord, comparaison ensuite. Deux droites peuvent être parallèles sans que leurs formes implicites se ressemblent. 👉 Et le contrôle qui ne coûte rien : tester x = 0 dans la forme implicite et dans la forme réduite. Les deux doivent donner le même y.