Problème de mélange

Énoncé

Un chimiste mélange deux solutions. La solution A contient 30% d'acide et la solution B contient 80% d'acide. Il veut obtenir 500 mL d'une solution à 50% d'acide. Quel volume de chaque solution doit-il mélanger ?

Indice : Pose un système avec x = volume de A et y = volume de B. Écris deux équations : volume total et quantité d'acide.

Correction

1. Étape 1 : Un problème de mélange, de même structure que celui du café rencontré au chapitre 2 : deux équations, l'une sur les volumes, l'autre sur la quantité de substance. Équation de mélange : volume total : x + y = 500 acide conservé : 0{,}3x + 0{,}8y = 0{,}5 500 👉 La seconde équation dit que l'acide ne se crée ni ne disparaît : ce qu'on verse dans le mélange est ce qu'on y retrouve. C'est ce principe de conservation qui donne l'équation, et non un raisonnement sur les pourcentages. ⚠️ Ne jamais écrire 0{,}3 + 0{,}8 = 0{,}5 : on n'additionne pas des pourcentages, on additionne des quantités.
2. Étape 2 : Soit x le volume de solution A et y celui de solution B, en millilitres. Volume : x + y = 500 Acide : la solution A en apporte 0{,}3x mL, la B en apporte 0{,}8y mL, et le mélange doit en contenir 0{,}5 500 = 250 mL : 0{,}3x + 0{,}8y = 250 [formule]

   cases x + y = 500 0{,}3x + 0{,}8y = 250 cases

3. Étape 3 : Résolution par substitution. La première équation donne x = 500 - y (coefficient 1). On reporte dans la seconde : 0{,}3(500 - y) + 0{,}8y = 250 150 - 0{,}3y + 0{,}8y = 250 0{,}5y = 100 y = 200 puis x = 500 - 200 = 300. Il faut mélanger 300 mL de solution A et 200 mL de solution B.

   x = 300 mL ; y = 200 mL

4. Étape 4 : Vérification. Quantité d'acide obtenue : 0{,}3 300 + 0{,}8 200 = 90 + 160 = 250 mL et 250{500} = 0{,}5, soit bien 50 % ✓ 👉 Contrôle par proximité, qu'on peut faire avant même de résoudre : 50 % est plus proche de 30 % (écart 20) que de 80 % (écart 30). Il doit donc y avoir plus de solution A que de B — et c'est bien le cas, 300 contre 200.
5. Étape 5 : L'erreur classique : Écrire la seconde équation en pourcentages : 0{,}3 + 0{,}8 = 0{,}5, ou 0{,}3x + 0{,}8y = 0{,}5. Un pourcentage n'a de sens que rapporté à une quantité. L'équation porte sur des millilitres d'acide : 0{,}3x est un volume, pas un taux, et le second membre est 0{,}5 500 = 250 mL. À retenir : Deux équations : l'une sur les quantités totales, l'autre sur la substance conservée. 👉 Et le contrôle par proximité, gratuit et fiable : le taux du mélange penche du côté du composant le plus abondant.