Problème de tarification

Énoncé

Un opérateur téléphonique propose deux forfaits : - Forfait A : 10 € par mois + 0,05 € par minute d'appel - Forfait B : 20 € par mois, appels illimités a) Exprimer le coût mensuel C_A(x) et C_B(x) en fonction du nombre de minutes x. b) À partir de combien de minutes le forfait B est-il plus avantageux ? c) Représenter graphiquement la situation.

Indice : Exprime chaque coût comme une fonction affine de x, puis résous C_A(x) = C_B(x).

Correction

1. Étape 1 : Deux tarifs, dont l'un est constant — c'est le cas a = 0 rencontré au premier exercice, et il prend ici tout son sens : « illimité » veut dire que le coût ne dépend pas du nombre de minutes. Comparer deux tarifs : 1. écrire les deux fonctions ; 2. résoudre l'inéquation qui traduit « l'un est moins cher que l'autre » ; 3. revenir au concret : le nombre de minutes est entier, et il faut savoir ce qui se passe au point d'égalité. 👉 L'étape 3 est celle qui distingue une réponse mathématique d'une réponse au problème posé.
2. Étape 2 : a) Soit x le nombre de minutes d'appel dans le mois. Forfait A : 10 € fixes, plus 0,05 € par minute — c'est une fonction affine : C_A(x) = 10 + 0{,}05x Forfait B : 20 € quel que soit x — c'est une fonction constante : C_B(x) = 20

   C_A(x) = 10 + 0{,}05x ; C_B(x) = 20

3. Étape 3 : b) Le forfait B est plus avantageux quand il coûte moins cher : C_B(x) < C_A(x) 20 < 10 + 0{,}05x 10 < 0{,}05x x > 10{0{,}05} = 200 ⚠️ L'inégalité est stricte : à 200 minutes exactement, les deux forfaits coûtent 20 € — B n'est donc pas encore « plus avantageux », il est équivalent. Comme x est un nombre entier de minutes, le forfait B devient plus avantageux à partir de 201 minutes. Contrôle : à 200 min, C_A = 10 + 10 = 20 ✓ égalité ; à 201 min, C_A = 20{,}05 > 20 ✓

   x > 200 soit x 201 minutes

4. Étape 4 : c) Représentation graphique. Deux droites, dont l'une est horizontale : C_B est la droite horizontale d'équation y = 20 ; C_A part de (0\,;\,10) et monte très doucement — une pente de 0,05 signifie 5 centimes par minute, donc 5 € pour 100 minutes. Elles se croisent au point (200\,;\,20), qui est le seuil trouvé en question b). 👉 La lecture graphique confirme tout : avant 200 minutes, la droite de C_A est en dessous (A est moins cher) ; après, elle passe au-dessus (B devient meilleur).
5. Étape 5 : L'erreur classique : Répondre « à partir de 200 minutes ». À 200 minutes, les deux forfaits coûtent exactement la même chose : B n'est pas plus avantageux, il est équivalent. L'inégalité trouvée est stricte (x > 200), donc le premier entier qui convient est 201. C'est le genre de nuance qui fait la différence entre une réponse juste et une réponse presque juste. À retenir : Le point d'intersection est le seuil : il se lit graphiquement et se calcule algébriquement, et les deux doivent coïncider. 👉 Et regarder de quel côté chaque droite est en dessous : c'est ce qui répond à « lequel est plus avantageux », et non le seul seuil.