Intersection de droites

Énoncé

Déterminer le point d'intersection des droites : d_1 : y = 2x - 1 et d_2 : y = -x + 5

Indice : Au point d'intersection, les deux expressions de y sont égales.

Correction

1. Étape 1 : Un point d'intersection appartient aux deux droites à la fois : ses coordonnées vérifient donc les deux équations. C'est ce qui autorise à égaler les deux expressions de y. Trouver une intersection : 1. égaler les deux expressions de y ; 2. résoudre pour obtenir x ; 3. reporter dans l'une des deux équations pour obtenir y ; 4. vérifier dans l'autre. 👉 L'étape 4 est le seul vrai contrôle : celle qui a servi au report donnera nécessairement le bon résultat, même si le calcul de x était faux.
2. Étape 2 : On égale. Au point d'intersection, les deux y sont le même nombre : 2x - 1 = -x + 5 On regroupe les x à gauche et les nombres à droite : 2x + x = 5 + 1 3x = 6 x = 2

   x = 2

3. Étape 3 : On reporte. Dans d_1 : y = 2 2 - 1 = 3 Le point d'intersection est donc [formule] Vérification dans d_2 — celle qui n'a pas servi : -2 + 5 = 3 ✓ — le point est bien sur les deux droites.

   I(2\,;\,3)

4. Étape 4 : L'erreur classique : S'arrêter après avoir trouvé x = 2 et répondre « le point d'intersection est 2 ». Un point du plan a deux coordonnées. La réponse attendue est un couple, I(2\,;\,3), pas un nombre. À retenir : Égaler, résoudre, reporter, vérifier dans l'autre équation. 👉 Et un contrôle préalable qui évite de chercher pour rien : si les deux pentes sont égales, les droites sont parallèles et il n'y a aucun point d'intersection (ou une infinité, si elles sont confondues). Ici 2 -1, donc l'intersection existe et est unique.