Droites parallèles

Énoncé

Soit d_1 : y = 3x - 2 et d_2 : y = 3x + 5. a) Les droites d_1 et d_2 sont-elles parallèles ? Justifier. b) Déterminer l'équation de la droite d_3 parallèle à d_1 passant par le point P(1 ; 4).

Indice : Deux droites sont parallèles ssi elles ont le même coefficient directeur. Si d_3 est parallèle à d_1, elle a la même pente a.

Correction

  1. Étape 1 : Deux droites sont parallèles quand elles ont la même pente — et rien d'autre n'entre en compte. Parallélisme de deux droites : d : y = ax + b et d' : y = a'x + b' sont parallèles a = a'. Si de plus b = b', elles sont confondues ; sinon elles sont strictement parallèles. 👉 L'ordonnée à l'origine ne décide pas du parallélisme : elle décide seulement de où se trouve la droite, pas de quelle direction elle prend. Deux droites de même pente et d'ordonnées différentes sont parallèles — c'est même la définition de deux droites distinctes qui ne se croisent jamais.
  2. Étape 2 : a) On lit les deux pentes directement sur les équations réduites : d_1 : y = 3x - 2 donne a_1 = 3 d_2 : y = 3x + 5 donne a_2 = 3 Comme a_1 = a_2, les droites sont parallèles. Et comme b_1 = -2 5 = b_2, elles ne sont pas confondues : elles sont strictement parallèles. La seconde est simplement 7 unités plus haut que la première.

    a_1 = a_2 = 3 d_1 d_2

  3. Étape 3 : b) d_3 est parallèle à d_1, donc elle a la même pente : a = 3 Il reste à trouver b pour que P(1\,;\,4) soit sur d_3. On remplace x par 1 et y par 4 dans y = 3x + b : 4 = 3 1 + b b = 4 - 3 = 1 [formule] Vérification : 3 1 + 1 = 4 ✓ — le point P est bien dessus.

    d_3 : y = 3x + 1

  4. Étape 4 : L'erreur classique : Croire que deux droites d'ordonnées à l'origine différentes ne peuvent pas être parallèles. C'est exactement l'inverse : si elles avaient aussi la même ordonnée à l'origine, elles seraient confondues — c'est-à-dire la même droite. Ce sont les b différents qui font qu'elles sont deux droites distinctes. À retenir : Même pente parallèles. Même pente et même b confondues. 👉 Et le réflexe pour construire une parallèle passant par un point donné : recopier le a, puis calculer le b avec le point. Deux lignes.