Déterminer l'équation d'une droite

Énoncé

Déterminer l'équation de la droite passant par A(2 ; 1) et B(5 ; 7).

Indice : Calcule d'abord a, puis b avec un des deux points.

Correction

1. Étape 1 : C'est le problème inverse du précédent : on part de deux points et l'on cherche l'équation. Deux inconnues à trouver, a et b, donc deux étapes. Trouver y = ax + b à partir de deux points : 1. a par la formule du coefficient directeur ; 2. b en remplaçant x et y par les coordonnées de l'un des deux points, puis en résolvant ; 3. vérifier avec l'autre point. 👉 L'étape 3 n'est pas une formalité : c'est le seul contrôle qui prouve qu'on n'a pas fait d'erreur, car le point qui a servi à trouver b conviendra forcément.
2. Étape 2 : Le coefficient directeur. Avec A(2\,;\,1) et B(5\,;\,7) : a = 7 - 1{5 - 2} = 6{3} = 2 La droite monte, ce qui est cohérent : y passe de 1 à 7 quand x passe de 2 à 5 ✓

   a = 2

3. Étape 3 : L'ordonnée à l'origine. L'équation est pour l'instant y = 2x + b. On y remplace les coordonnées de A(2\,;\,1) — c'est-à-dire x = 2 et y = 1 : 1 = 2 2 + b 1 = 4 + b b = 1 - 4 = -3 [formule]

   y = 2x - 3

4. Étape 4 : Vérification avec l'AUTRE point. On teste B(5\,;\,7) : 2 5 - 3 = 10 - 3 = 7 ✓ — c'est bien l'ordonnée de B. 👉 Tester A n'aurait rien prouvé : c'est lui qui a servi à calculer b, donc il convient nécessairement, même si a était faux. Seul l'autre point est un vrai contrôle.
5. Étape 5 : L'erreur classique : Vérifier avec le point qui a servi à trouver b. Le calcul « tombe juste » quoi qu'il arrive, et l'on croit avoir contrôlé quelque chose alors qu'on n'a rien contrôlé du tout. C'est un contrôle qui ne peut pas échouer, donc qui ne mesure rien. À retenir : a d'abord, b ensuite en remplaçant les coordonnées d'un point, puis vérification avec l'autre. 👉 Cas particulier utile : si l'un des points a pour abscisse 0, son ordonnée est b — il n'y a plus qu'à calculer a.