Problème complet — Datation au carbone 14

Énoncé

Le carbone 14 a une demi-vie de **5730 ans**. On note N(t) le nombre de noyaux à l'instant t (en années), avec N(0) = N_0. a) Justifier que N vérifie N' = -\,N pour une constante > 0, et exprimer N(t) en fonction de N_0 et . b) Exprimer en fonction de la demi-vie T = 5730. c) Un os retrouvé contient 30\,\% du carbone 14 d'un os actuel. Déterminer son âge approximatif. d) **Sensibilité** : si la mesure expérimentale donne 30\,\% 2\,\%, quel est l'intervalle d'incertitude sur l'âge ?

Indice : b) Utilise N(T) = N_0/2. c) N(t)/N_0 = 0{,}30, résoudre pour t. d) Calculer t pour 28\% et 32\%.

Correction

1. Étape 1 : **a)** Loi de désintégration radioactive : la vitesse de disparition est proportionnelle au nombre de noyaux présents, > 0 étant la constante radioactive. Solutions de N' = -\,N : N(t) = C\,e^{- t}. Avec N(0) = N_0, C = N_0, donc N(t) = N_0\,e^{- t}.

   N(t) = N_0\,e^{- t}

2. Étape 2 : **b)** N(T) = N_0{2} e^{- T} = 1{2} - T = - 2, donc = 2{T} = 2{5730} 1{,}21 10^{-4} an^{-1}.

   = 2{5730}

3. Étape 3 : **c)** N(t){N_0} = 0{,}30 e^{- t} = 0{,}30 - t = (0{,}30). t = -(0{,30)}{} = (1/0{,30)}{ 2 / 5730} = 5730 (10/3){ 2}. (10/3) 1{,}204, 2 0{,}693. Donc t 5730 1{,204}{0{,}693} 5730 1{,}737 9952 ans.

   t 9950 ans

4. Étape 4 : **d)** Pour 28\% : t = 5730 (1/0{,28)}{ 2} = 5730 1{,273}{0{,}693} 10520 ans. Pour 32\% : t = 5730 (1/0{,32)}{ 2} = 5730 1{,139}{0{,}693} 9417 ans. Intervalle d'incertitude : environ **9400 à 10500 ans**, soit ±550 ans autour de la valeur centrale. La datation au carbone 14 est précise à quelques pour cent près.