Problème complet — Datation au carbone 14

Énoncé

Le carbone 14 a une demi-vie de 5730 ans. On note N(t) le nombre de noyaux à l'instant t (en années), avec N(0) = N_0. a) Justifier que N vérifie N' = -\,N pour une constante > 0, et exprimer N(t) en fonction de N_0 et . b) Exprimer en fonction de la demi-vie T = 5730. c) Un os retrouvé contient 30\,\% du carbone 14 d'un os actuel. Déterminer son âge approximatif. d) Sensibilité : si la mesure expérimentale donne 30\,\% 2\,\%, quel est l'intervalle d'incertitude sur l'âge ?

Indice : b) Utilise N(T) = N_0/2. c) N(t)/N_0 = 0{,}30, résoudre pour t. d) Calculer t pour 28\% et 32\%.

Correction

1. Étape 1 : La datation au carbone 14 — l'application la plus célèbre de ce chapitre, et celle qui a valu à Willard Libby le prix Nobel de chimie en 1960. 👉 Le principe : un organisme vivant échange du carbone avec l'atmosphère, et maintient une proportion constante de carbone 14. À sa mort, l'échange cesse et le ^{14}C se désintègre sans être renouvelé. La proportion restante est donc une horloge. ⚠️ La question d) est la plus intéressante, et la moins habituelle : elle demande de propager une incertitude. Une mesure physique n'est jamais exacte, et la question est de savoir ce que cela coûte sur le résultat.
2. Étape 2 : a) La loi de désintégration : le nombre de noyaux qui se désintègrent par unité de temps est proportionnel au nombre de noyaux présents. D'où [formule] Le signe moins traduit la diminution ; est la constante radioactive, propre à chaque isotope. C'est une équation y' = ay avec a = - : N(t) = C\,e^{- t}, et N(0) = N_0 donne C = N_0 : [formule]

   N(t) = N_0\,e^{- t}

3. Étape 3 : b) La demi-vie T est définie par N(T) = N_0{2} : N_0\,e^{- T} = N_0{2} e^{- T} = 1{2} N_0 se simplifie — la demi-vie ne dépend pas de la quantité initiale. - T = - 2, donc [formule]

   = 2{5730} 1{,}21 10^{-4} an^{-1}

4. Étape 4 : c) L'os contient 30 % du carbone 14 d'un os actuel : N(t){N_0} = 0{,}30 e^{- t} = 0{,}30 - t = (0{,}30), donc t = -(0{,30)}{} = (10/3){} En remplaçant par 2{5730} : [formule] 👉 Contrôle par les demi-vies : 30 % est entre 50 % (une demi-vie) et 25 % (deux demi-vies), donc l'âge doit être entre 5 730 et 11 460 ans — et plus proche de la seconde borne. 9 950 ans convient ✓

   t 9950 ans

5. Étape 5 : d) La propagation de l'incertitude. On refait le calcul aux deux bornes de la mesure : pour 32 % : t = 5730 (1/0{,32)}{ 2} 9419 ans pour 28 % : t = 5730 (1/0{,28)}{ 2} 10\,523 ans [formule] ⚠️ L'intervalle n'est PAS symétrique : -534 ans d'un côté, +570 de l'autre. Il ne faut donc pas écrire « 550 ans » sans le dire. 👉 Pourquoi ? Parce que le logarithme n'est pas linéaire : il étire les petites valeurs. Une baisse de 2 points de pourcentage (de 30 à 28) coûte donc plus d'années qu'une hausse de 2 points n'en fait gagner. Plus l'échantillon est vieux, plus l'incertitude s'étale — et c'est la vraie limite de la méthode au-delà de 50 000 ans. ℹ️ Une incertitude de 2 points sur la mesure donne environ 5{,}5\,\% sur l'âge : c'est l'ordre de grandeur réel de la datation au carbone 14.

   9420 âge 10\,520 ans

6. Étape 6 : L'erreur classique : Calculer l'âge central, puis en déduire l'incertitude « au prorata » — par exemple 2/30 soit 6{,}7\,\%, donc 660 ans. Une incertitude ne se propage pas proportionnellement à travers un logarithme. Il faut refaire le calcul complet à chaque borne, ce qui coûte deux lignes et donne le bon résultat — asymétrie comprise. À retenir : = 2{T} relie constante radioactive et demi-vie, et N_0 se simplifie partout : c'est ce qui rend la datation possible sans connaître la quantité de départ. 👉 Et pour propager une incertitude : refaire le calcul aux bornes, jamais une règle de trois. Le résultat est asymétrique, et cette asymétrie est physique.