Identifier l'équation à partir d'une solution

Énoncé

On observe expérimentalement que la fonction f(t) = 10 - 6\,e^{-0{,}3\,t} modélise bien la concentration C(t) (en mg/L) d'un médicament dans le sang après injection. a) Vérifier que f est solution d'une équation différentielle de la forme y' = ay + b et déterminer a et b. b) Quelle est la concentration initiale f(0) et la concentration limite _{t +} f(t) ? c) À quel instant la concentration atteint-elle 9 mg/L ?

Indice : a) Calcule f' et exprime f' en fonction de f (en isolant l'exponentielle).

Correction

1. Étape 1 : L'exercice inverse des précédents : on donne la solution, on cherche l'équation. 👉 C'est la démarche du physicien face à des données expérimentales : on observe une courbe, on l'ajuste par une formule, et l'on cherche quelle loi la produit. L'équation différentielle est le modèle ; la formule n'en est que la conséquence. Retrouver l'équation : 1. dériver f ; 2. isoler l'exponentielle dans l'expression de f ; 3. remplacer dans f' pour l'exprimer en fonction de f. ⚠️ L'étape 2 est le geste décisif, et le seul qui ne soit pas mécanique : c'est elle qui fait disparaître le t au profit de f(t).
2. Étape 2 : a) f(t) = 10 - 6\,e^{-0{,}3\,t}. On dérive : f'(t) = -6 (-0{,}3)\,e^{-0{,}3\,t} = 1{,}8\,e^{-0{,}3\,t} Le geste décisif : isoler l'exponentielle dans l'expression de f. De f(t) = 10 - 6\,e^{-0{,}3\,t} on tire 6\,e^{-0{,}3\,t} = 10 - f(t). On réécrit alors f' en faisant apparaître ce bloc : f'(t) = 1{,}8\,e^{-0{,}3t} = 0{,}3 6\,e^{-0{,3t}}_{= \ 10 - f(t)} = 0{,}3(10 - f(t)) [formule]

   f'(t) = -0{,}3\,f(t) + 3

3. Étape 3 : b) Concentration initiale : f(0) = 10 - 6\,e^{0} = 10 - 6 = 4 mg/L Concentration limite : quand t +, e^{-0{,}3t} 0, donc [formule] 👉 Contrôle croisé : cette limite doit être l'équilibre -b{a} = -3{-0{,}3} = 10 ✓ — les questions a) et b) se confirment mutuellement. Si elles divergeaient, l'une des deux serait fausse.

   f(0) = 4 mg/L \ ; _{+} f = 10 mg/L

4. Étape 4 : c) On cherche t tel que f(t) = 9 : 10 - 6\,e^{-0{,}3t} = 9 6\,e^{-0{,}3t} = 1 e^{-0{,}3t} = 1{6} On passe au logarithme : -0{,}3\,t = \!(1{6}) = - 6 [formule] ℹ️ Interprétation : la concentration atteint 9 mg/L au bout de six heures, soit 90 % de la valeur limite. Elle n'atteindra jamais exactement 10 — c'est ce que dit l'asymptote.

   t = 6{0{,}3} 6 h

5. Étape 5 : L'erreur classique : Chercher a et b « à vue » sur f(t) = 10 - 6e^{-0{,}3t}, en annonçant a = -0{,}3 et b = 10. Le a est juste — le coefficient de l'exposant se lit bien directement. Mais b ne l'est pas : le 10 est l'équilibre -b{a}, donc b = -a 10 = 0{,}3 10 = 3. Confondre b et -b{a} est l'erreur du chapitre. 👉 Le contrôle : remplacer dans l'équation et vérifier qu'elle est satisfaite. Avec b = 10, on aurait f' = -0{,}3f + 10, soit à t=0 : f'(0) = -1{,}2 + 10 = 8{,}8, alors que le calcul direct donne 1{,}8. L'erreur se voit. À retenir : Pour retrouver l'équation : dériver, isoler l'exponentielle, substituer. 👉 Et dans y = K - C\,e^{at}, la constante K est l'équilibre -b{a}, jamais b.