Identifier l'équation à partir d'une solution

Énoncé

On observe expérimentalement que la fonction f(t) = 10 - 6\,e^{-0{,}3\,t} modélise bien la concentration C(t) (en mg/L) d'un médicament dans le sang après injection. a) Vérifier que f est solution d'une équation différentielle de la forme y' = ay + b et déterminer a et b. b) Quelle est la concentration initiale f(0) et la concentration limite _{t +} f(t) ? c) À quel instant la concentration atteint-elle 9 mg/L ?

Indice : a) Calcule f' et exprime f' en fonction de f (en isolant l'exponentielle).

Correction

1. Étape 1 : **a)** f'(t) = -6 (-0{,}3) e^{-0{,}3\,t} = 1{,}8\,e^{-0{,}3\,t}. Or 6\,e^{-0{,}3\,t} = 10 - f(t), donc 1{,}8\,e^{-0{,}3\,t} = 0{,}3 (10 - f(t)) = 3 - 0{,}3\,f(t). Donc f'(t) = -0{,}3\,f(t) + 3. **a = -0{,}3, b = 3**.
2. Étape 2 : **b)** f(0) = 10 - 6 = 4 mg/L. _{t +} f(t) = 10 mg/L (la concentration tend vers la valeur d'équilibre -b{a} = -3{-0{,}3} = 10).
3. Étape 3 : **c)** f(t) = 9 10 - 6\,e^{-0{,}3\,t} = 9 6\,e^{-0{,}3\,t} = 1 e^{-0{,}3\,t} = 1{6}.
4. Étape 4 : -0{,}3\,t = - 6, donc t = 6{0{,}3} 1{,792}{0{,}3} 5{,}97 h.

   t 6 h