Modèle de population (linéaire)

Énoncé

Une population de bactéries dans un bouillon de culture vérifie N'(t) = 0{,}15\,N(t) - 200 (avec N en milliers et t en heures). On suppose N(0) = 5000 milliers. a) Mettre (E) sous la forme y' = ay + b. Identifier a et b. b) Quelle est la solution particulière constante N_p ? Quelle est son interprétation physique ? c) Résoudre (E) avec la condition initiale. d) Calculer N(10) et commenter la croissance.

Indice : a) a représente la croissance intrinsèque, b une perte (-200 milliers/h). c) Forme générale puis C.

Correction

1. Étape 1 : Un modèle de population avec prélèvement : la culture croît de 15 % par heure, mais on en retire 200 milliers de bactéries par heure. 👉 C'est le premier exercice où a > 0 et b 0, et cela change tout le comportement : l'équilibre existe toujours, mais il est instable. Au-dessus, la population explose ; en dessous, elle s'effondre. Lire un modèle avant de calculer : a = taux de croissance intrinsèque (ici +0{,}15/h) ; b = apport ou prélèvement constant (ici -200 milliers/h) ; -b{a} = population d'équilibre. ⚠️ Et les unités : N est en milliers. Une réponse de 17 766 signifie 17,8 millions de bactéries.
2. Étape 2 : a) N'(t) = 0{,}15\,N(t) - 200 est déjà sous forme canonique : [formule]

   a = 0{,}15 \ ; b = -200

3. Étape 3 : b) La solution constante. N_p = -b{a} = --200{0{,}15} = 200{0{,}15} 1333{,}33 Interprétation physique. C'est la population d'équilibre : à ce niveau exact, la croissance naturelle (0{,}15 1333{,}33 = 200) compense exactement le prélèvement de 200. La population reste alors constante. 👉 Mais cet équilibre est INSTABLE, et c'est ce qui le distingue de tous les précédents. Comme a > 0 : au-dessus de 1 333, la croissance l'emporte et la population s'éloigne vers le haut ; en dessous, le prélèvement l'emporte et la population s'effondre. Contrairement au café qui revient toujours à 22 °C, une culture écartée de son équilibre ne peut plus y revenir.

   N_p = 200{0{,}15} 1333 milliers

4. Étape 4 : c) N(t) = C\,e^{0{,}15\,t} + 1333{,}33. La condition N(0) = 5000 donne C + 1333{,}33 = 5000, donc C 3666{,}67 [formule] ℹ️ La population de départ (5 000) est au-dessus de l'équilibre (1 333) : d'après b), elle va donc croître sans limite. Le signe positif de C le confirme.

   N(t) 3666{,}67\,e^{0{,}15\,t} + 1333{,}33

5. Étape 5 : d) N(10) 3666{,}67 e^{1{,}5} + 1333{,}33 e^{1{,}5} 4{,}482, donc 3666{,}67 4{,}482 16\,433 [formule] Commentaire. La population a été multipliée par 3,5 en 10 heures, et la croissance s'accélère : c'est un comportement exponentiel, dû à a = 0{,}15 > 0. ⚠️ Limite du modèle, à savoir formuler : aucune culture ne croît indéfiniment. Le bouillon s'épuise, les déchets s'accumulent. Le modèle linéaire décrit bien la phase initiale, et devient faux ensuite — les biologistes emploient alors un modèle logistique, qui plafonne.

   N(10) 17\,766 milliers

6. Étape 6 : L'erreur classique : Oublier le signe de b et calculer -200{0{,}15} au lieu de --200{0{,}15}. On obtiendrait une population d'équilibre négative — physiquement absurde, et c'est ce qui doit alerter. Une grandeur physique dont le signe est impossible signale une erreur de calcul, pas une découverte. 👉 Second réflexe : vérifier l'équilibre en l'injectant dans l'équation. 0{,}15 1333{,}33 - 200 = 200 - 200 = 0 ✓ À retenir : a > 0 équilibre instable : on s'en éloigne. a < 0 équilibre stable : on y revient. 👉 Et savoir dire où s'arrête un modèle fait partie de la réponse : une croissance exponentielle ne décrit jamais qu'une phase.