Modèle de population (linéaire)

Énoncé

Une population de bactéries dans un bouillon de culture vérifie N'(t) = 0{,}15\,N(t) - 200 (avec N en milliers et t en heures). On suppose N(0) = 5000 milliers. a) Mettre (E) sous la forme y' = ay + b. Identifier a et b. b) Quelle est la solution particulière constante N_p ? Quelle est son interprétation physique ? c) Résoudre (E) avec la condition initiale. d) Calculer N(10) et commenter la croissance.

Indice : a) a représente la croissance intrinsèque, b une perte (-200 milliers/h). c) Forme générale puis C.

Correction

1. Étape 1 : **a)** N' = 0{,}15\,N - 200, donc a = 0{,}15 et b = -200.
2. Étape 2 : **b)** N_p = -b{a} = --200{0{,}15} = 200{0{,}15} 1333{,}33. C'est la population **d'équilibre** : si N = N_p exactement, alors N'(t) = 0 et la population reste constante. Au-dessus, elle croît ; en-dessous, elle décroît.
3. Étape 3 : **c)** N(t) = C\,e^{0{,}15\,t} + 200{0{,}15}. N(0) = C + 200{0{,}15} = 5000, donc C = 5000 - 200{0{,}15} 5000 - 1333{,}33 = 3666{,}67. N(t) 3666{,}67\,e^{0{,}15\,t} + 1333{,}33.

   N(t) 3666{,}67\,e^{0{,}15\,t} + 1333{,}33

4. Étape 4 : **d)** N(10) 3666{,}67\,e^{1{,}5} + 1333{,}33 3666{,}67 4{,}48 + 1333{,}33 16435 + 1333 17768 milliers. Donc environ **17,8 millions de bactéries** au bout de 10 h. La population croît exponentiellement (puisque a = 0{,}15 > 0).