Démonstration : la fonction constante est solution particulière

Énoncé

Soit l'équation différentielle (E) : y' = ay + b avec a 0 et b R. a) Montrer qu'il existe une **unique** fonction constante y_p(x) = k solution de (E), et exprimer k en fonction de a et b. b) Soit y une solution quelconque de (E). On pose z(x) = y(x) - y_p(x). Montrer que z vérifie z' = az. c) En déduire la forme générale des solutions de (E).

Indice : b) Calcule z' et utilise que y est solution de (E).

Correction

1. Étape 1 : **a)** Si y(x) = k constante, alors y'(x) = 0. L'équation (E) devient 0 = ak + b, soit k = -b{a} (unique car a 0).
2. Étape 2 : **b)** z'(x) = y'(x) - y_p'(x) = y'(x) - 0 = y'(x) = ay(x) + b. Or z(x) = y(x) + b{a}, donc y(x) = z(x) - b{a}.
3. Étape 3 : Donc z'(x) = a(z(x) - b{a}) + b = az(x) - b + b = az(x). ✓
4. Étape 4 : **c)** D'après le résultat du cours, z(x) = C\,e^{ax} avec C R. Donc y(x) = z(x) - b{a} = C\,e^{ax} - b{a}. C'est bien la forme générale annoncée.

   y(x) = C\,e^{ax} - b{a}