Démonstration : la fonction constante est solution particulière

Énoncé

Soit l'équation différentielle (E) : y' = ay + b avec a 0 et b R. a) Montrer qu'il existe une unique fonction constante y_p(x) = k solution de (E), et exprimer k en fonction de a et b. b) Soit y une solution quelconque de (E). On pose z(x) = y(x) - y_p(x). Montrer que z vérifie z' = az. c) En déduire la forme générale des solutions de (E).

Indice : b) Calcule z' et utilise que y est solution de (E).

Correction

1. Étape 1 : Cet exercice démontre la formule que les précédents appliquaient. C'est le seul du chapitre qui explique *pourquoi* y = C\,e^{ax} - b{a}. La stratégie : se ramener au cas connu : On sait résoudre z' = az. On ne sait pas résoudre y' = ay + b. 👉 L'idée est donc de fabriquer une fonction z qui vérifie la première équation, à partir de y qui vérifie la seconde — puis de revenir à y. Le procédé s'appelle soustraire une solution particulière, et il est général : il resservira pour toute équation différentielle avec second membre.
2. Étape 2 : a) La solution constante. Cherchons y_p(x) = k constante, solution de (E). Si y_p est constante, sa dérivée est nulle : y_p'(x) = 0. L'équation (E) devient alors : 0 = ak + b ak = -b k = -b{a} Cette valeur est unique, et elle existe parce que a 0 — c'est là que l'hypothèse de l'énoncé sert. [formule]

   y_p(x) = -b{a}

3. Étape 3 : b) Posons z(x) = y(x) - y_p(x) = y(x) + b{a}. On dérive. Comme y_p est constante, sa dérivée disparaît : z'(x) = y'(x) - 0 = y'(x) Or y est solution de (E), donc y'(x) = a\,y(x) + b. On exprime maintenant y en fonction de z : de z = y + b{a} on tire y = z - b{a}. En substituant : z'(x) = a(z(x) - b{a}) + b = a\,z(x) - b + b [formule] 👉 Le b a disparu, et c'est tout l'objet de la manœuvre : z vérifie l'équation *sans* second membre, celle qu'on sait résoudre.

   z'(x) = a\,z(x)

4. Étape 4 : c) D'après le cours, les solutions de z' = az sont z(x) = C\,e^{ax}, C R On revient à y par y = z - b{a} : [formule] C'est bien la forme générale annoncée. ℹ️ Le raisonnement est réversible, ce qui est indispensable : on a montré que *toute* solution y s'écrit ainsi (sens direct), et l'on vérifie immédiatement que *toute* fonction de cette forme est solution (sens réciproque, fait aux exercices 40004 et 40005). L'ensemble des solutions est donc exactement cette famille.

   y(x) = C\,e^{ax} - b{a}

5. Étape 5 : L'erreur classique : Écrire z' = y' - y_p' puis oublier que y_p' = 0, ou se tromper de signe en posant z = y + b{a}. y_p = -b{a}, donc z = y - y_p = y - (-b{a}) = y + b{a}. Deux signes moins qui se compensent — c'est le point à écrire lentement. 👉 Le contrôle : à la fin, on doit retrouver exactement z' = az, sans terme résiduel. Un b qui traîne signale une erreur de substitution. À retenir : Soustraire une solution particulière ramène une équation avec second membre à une équation sans. C'est le procédé général, et il dépasse largement ce chapitre. 👉 Et une fonction constante a une dérivée nulle : c'est ce fait élémentaire qui fait tomber tout le calcul de la question a).