Algorithme d'Euler à la main

Énoncé

On approche par la méthode d'Euler la solution de y' = -2y + 4 avec y(0) = 0, pas h = 0{,}25. a) Donner la solution exacte de cette équation différentielle. b) Calculer à la main y_1, y_2, y_3, y_4 (valeurs approchées aux temps 0{,}25, 0{,}5, 0{,}75, 1). c) Comparer y_4 avec la valeur exacte y(1).

Indice : b) Formule : y_{k+1} = y_k + h(-2y_k + 4).

Correction

1. Étape 1 : La méthode d'Euler approche une solution sans la résoudre : on suit la tangente, pas à pas. Le principe : En un point connu (x_k\,;y_k), l'équation donne la pente : y' = f(y_k). On avance d'un pas h en suivant cette tangente : [formule] 👉 Pourquoi c'est utile : la plupart des équations différentielles ne se résolvent PAS par une formule. La méthode d'Euler, elle, s'applique toujours — c'est ainsi que les ordinateurs simulent la météo, les orbites ou les circuits. ⚠️ Ici l'équation se résout exactement, et c'est tout l'intérêt de l'exercice : on peut comparer l'approximation à la vérité, donc mesurer l'erreur.
2. Étape 2 : a) La solution exacte. y' = -2y + 4 : a = -2, b = 4. -b{a} = -4{-2} = 2, donc y(x) = C\,e^{-2x} + 2. y(0) = C + 2 = 0 donne C = -2 : [formule]

   y(x) = 2(1-e^{-2x})

3. Étape 3 : b) Avec f(y) = -2y+4, h = 0{,}25 et y_0 = 0, on applique la formule quatre fois : y_1 = 0 + 0{,}25 (-2 0 + 4) = 0{,}25 4 = 1 y_2 = 1 + 0{,}25 (-2 1 + 4) = 1 + 0{,}25 2 = 1{,}5 y_3 = 1{,}5 + 0{,}25 (-2 1{,}5 + 4) = 1{,}5 + 0{,}25 1 = 1{,}75 y_4 = 1{,}75 + 0{,}25 (-2 1{,}75 + 4) = 1{,}75 + 0{,}25 0{,}5 = 1{,}875 | k | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | |:---|---:|---:|---:|---:|---:| | y_k | 0 | 1 | 1{,}5 | 1{,}75 | 1{,}875 | | pas ajouté | — | 1 | 0{,}5 | 0{,}25 | 0{,}125 | 👉 Les incréments sont divisés par 2 à chaque fois : la suite ralentit en approchant de l'équilibre 2, exactement comme la vraie solution.

   y_4 = 1{,}875

4. Étape 4 : c) La comparaison. Valeur exacte : y(1) = 2(1 - e^{-2}) 2 (1 - 0{,}1353) 1{,}729 Euler donne 1{,}875. [formule] 👉 Euler SURESTIME ici, et ce n'est pas un hasard. La solution exacte est concave (elle monte en ralentissant), donc elle est sous ses tangentes. Or Euler avance précisément le long des tangentes : il passe donc systématiquement au-dessus. C'est la même propriété que celle vue sur l'approximation affine : la convexité décide du sens de l'erreur. ℹ️ Avec h = 0{,}1 l'erreur tomberait autour de 3 %, et avec h = 0{,}01 autour de 0,3 % : l'erreur d'Euler est proportionnelle au pas. Diviser le pas par 10 divise l'erreur par 10 environ.

   y(1) 1{,}729 ; erreur 8{,}4\,\%

5. Étape 5 : L'erreur classique : Utiliser y_{k+1} = y_k + h f(y_{k+1}) — c'est-à-dire la pente au point d'arrivée. On ne connaît pas encore y_{k+1} : la formule serait circulaire. Euler emploie la pente au point de départ, celui qu'on connaît. (Il existe des méthodes qui utilisent la pente d'arrivée, mais elles demandent de résoudre une équation à chaque pas.) 👉 Et un tableau ordonné évite l'autre erreur classique : se tromper d'une ligne en enchaînant les calculs de tête. À retenir : y_{k+1} = y_k + h\,f(y_k) — on suit la tangente au point connu. 👉 Et le sens de l'erreur se lit sur la convexité : solution concave Euler surestime ; convexe il sous-estime.