Algorithme d'Euler à la main

Énoncé

On approche par la méthode d'Euler la solution de y' = -2y + 4 avec y(0) = 0, pas h = 0{,}25. a) Donner la solution exacte de cette équation différentielle. b) Calculer à la main y_1, y_2, y_3, y_4 (valeurs approchées aux temps 0{,}25, 0{,}5, 0{,}75, 1). c) Comparer y_4 avec la valeur exacte y(1).

Indice : b) Formule : y_{k+1} = y_k + h(-2y_k + 4).

Correction

1. Étape 1 : **a)** -b{a} = 2. y(x) = C\,e^{-2x} + 2. y(0) = C + 2 = 0, donc C = -2. **Solution** : y(x) = 2(1 - e^{-2x}).

   y(x) = 2(1 - e^{-2x})

2. Étape 2 : **b)** Avec f(y) = -2y + 4 et h = 0{,}25 : y_1 = y_0 + 0{,}25 (-2 0 + 4) = 0 + 1 = 1. y_2 = 1 + 0{,}25 (-2 + 4) = 1 + 0{,}5 = 1{,}5.
3. Étape 3 : y_3 = 1{,}5 + 0{,}25 (-3 + 4) = 1{,}5 + 0{,}25 = 1{,}75. y_4 = 1{,}75 + 0{,}25 (-3{,}5 + 4) = 1{,}75 + 0{,}125 = 1{,}875.

   y_4 1{,}875

4. Étape 4 : **c)** Valeur exacte : y(1) = 2(1 - e^{-2}) 2(1 - 0{,}135) 1{,}729. Euler donne 1{,}875. Erreur d'environ 0{,}15 (8 %). Avec h = 0{,}1 ou h = 0{,}01, l'approximation serait nettement meilleure.