Charge d'un condensateur RC

Énoncé

Un circuit RC est tel que u(t) (tension aux bornes du condensateur) vérifie : 10^{-3}\,u'(t) + u(t) = 5 (avec u en volts et t en secondes). Le condensateur est initialement déchargé : u(0) = 0. a) Mettre l'équation sous la forme u' = au + b. b) Résoudre avec la condition initiale. c) Au bout de quelle durée la tension atteint-elle 4{,}5 V (90 % de E = 5 V) ?

Indice : a) Divise tout par 10^{-3} = 1/1000. c) Résoudre u(t) = 4{,}5.

Correction

1. Étape 1 : **a)** Diviser par 10^{-3} : u' + 1000\,u = 5000, donc u' = -1000\,u + 5000. Ici a = -1000, b = 5000 et -b{a} = 5 (V).
2. Étape 2 : **b)** u(t) = C\,e^{-1000\,t} + 5. u(0) = C + 5 = 0, donc C = -5. **Solution** : u(t) = 5(1 - e^{-1000\,t}).

   u(t) = 5(1 - e^{-1000\,t})

3. Étape 3 : **c)** u(t) = 4{,}5 5 - 5\,e^{-1000\,t} = 4{,}5 e^{-1000\,t} = 0{,}1 -1000\,t = (0{,}1).
4. Étape 4 : t = -(0{,1)}{1000} = 10{1000} 2{,303}{1000} 2{,}3 10^{-3} s = 2{,}3 ms.

   t 2{,}3 ms