Charge d'un condensateur RC

Énoncé

Un circuit RC est tel que u(t) (tension aux bornes du condensateur) vérifie : 10^{-3}\,u'(t) + u(t) = 5 (avec u en volts et t en secondes). Le condensateur est initialement déchargé : u(0) = 0. a) Mettre l'équation sous la forme u' = au + b. b) Résoudre avec la condition initiale. c) Au bout de quelle durée la tension atteint-elle 4{,}5 V (90 % de E = 5 V) ?

Indice : a) Divise tout par 10^{-3} = 1/1000. c) Résoudre u(t) = 4{,}5.

Correction

1. Étape 1 : Un circuit RC : le condensateur se charge, et la tension à ses bornes suit une équation différentielle du premier ordre. ⚠️ La difficulté est numérique, pas conceptuelle : le coefficient 10^{-3} devient 1000 en divisant, et les nombres explosent. Il faut diviser tous les termes, second membre compris. 👉 Le repère physique qui contrôle tout : = 10^{-3} s est la constante de temps du circuit ( = RC). Elle donne l'ordre de grandeur de la durée de charge — quelques millisecondes ici, pas quelques secondes. Toute réponse en secondes serait suspecte.
2. Étape 2 : a) 10^{-3}\,u'(t) + u(t) = 5. On divise tout par 10^{-3}, c'est-à-dire qu'on multiplie par 1000 : u'(t) + 1000\,u(t) = 5000 [formule] a = -1000 (en s^{-1}) et b = 5000 (en V·s^{-1}). ⚠️ Le second membre passe de 5 à 5000 : c'est le terme qu'on oublie de multiplier, et l'oubli donnerait un équilibre à 0,005 V au lieu de 5 V.

   u' = -1000\,u + 5000

3. Étape 3 : b) L'équilibre : -b{a} = -5000{-1000} = 5 V 👉 C'est la tension du générateur, et c'est le contrôle immédiat : un condensateur qui se charge finit par atteindre la tension qu'on lui impose, puisque c'est elle qui alimente le circuit. u(t) = C\,e^{-1000\,t} + 5, et u(0) = 0 donne C + 5 = 0, soit C = -5 : [formule] La forme factorisée montre la charge : on part de 0 et l'on monte vers 5 V.

   u(t) = 5(1 - e^{-1000\,t})

4. Étape 4 : c) On cherche t tel que u(t) = 4{,}5 V : 5 - 5\,e^{-1000\,t} = 4{,}5 5\,e^{-1000\,t} = 0{,}5 e^{-1000\,t} = 0{,}1 -1000\,t = (0{,}1) = - 10 [formule] 👉 Contrôle par la constante de temps : t 2{,}3\,. C'est un résultat général et connu des électroniciens — atteindre 90 % de la charge demande toujours (10) 2{,}3 constantes de temps, quel que soit le circuit. Le calcul est cohérent.

   t = 10{1000} 2{,}3 ms

5. Étape 5 : L'erreur classique : Ne multiplier que le membre de gauche par 1000, et garder b = 5. L'équilibre serait alors -5{-1000} = 0{,}005 V — cinq millivolts au lieu de cinq volts. Le contrôle physique attrape l'erreur instantanément : la tension finale doit être celle du générateur. À retenir : Diviser (ou multiplier) une équation, c'est agir sur tous ses termes. 👉 Et sur un circuit RC, deux contrôles gratuits : l'équilibre vaut la tension du générateur, et atteindre 90 % demande 10 2{,}3 constantes de temps.