Identifier les fonctions affines

Énoncé

Parmi les fonctions suivantes, lesquelles sont affines ? Pour celles qui le sont, donner a et b. a) f(x) = 3x - 7 b) g(x) = x^2 + 1 c) h(x) = -5 d) k(x) = 2x{3} + 1

Indice : Une fonction est affine si elle s'écrit sous la forme f(x) = ax + b.

Correction

1. Étape 1 : Reconnaître une fonction affine, c'est vérifier une forme, pas un aspect général. Fonction affine : f est affine si elle s'écrit f(x) = ax + b, avec a et b des nombres fixés. a est le coefficient directeur (la pente), b l'ordonnée à l'origine — la valeur en x = 0. 👉 Le critère décisif : x doit apparaître à la puissance 1, et nulle part ailleurs. Pas de x^2, pas de x, pas de x au dénominateur. ⚠️ Et deux cas particuliers qu'on refuse à tort : une fonction constante est affine (avec a = 0), et un coefficient fractionnaire reste un nombre fixé — donc convient parfaitement.
2. Étape 2 : a) f(x) = 3x - 7 : c'est exactement la forme ax + b. [formule] ⚠️ b vaut -7 et non 7 : le signe fait partie du coefficient. Le repère : 3x - 7 s'écrit aussi 3x + (-7).

   a = 3 ; b = -7

3. Étape 3 : b) g(x) = x^2 + 1 : non affine, à cause du x^2. Une fonction affine a pour représentation une droite ; celle-ci a pour courbe une parabole. C'est d'ailleurs le contrôle visuel : affine droite. c) h(x) = -5 : affine, et c'est le cas qu'on refuse le plus souvent. On peut l'écrire h(x) = 0 x + (-5), donc a = 0 et b = -5. Sa courbe est une droite horizontale — une droite quand même. On dit qu'elle est constante : c'est un cas particulier de fonction affine, pas une exception.

   b) non affine ; c) a = 0,\ b = -5

4. Étape 4 : d) k(x) = 2x{3} + 1 On réécrit pour faire apparaître la forme : 2x{3} = 2{3}x. [formule] 👉 Un coefficient fractionnaire ne pose aucun problème : a doit être un nombre fixé, pas nécessairement un entier.

   a = 2{3} ; b = 1

5. Étape 5 : L'erreur classique : Refuser h(x) = -5 parce qu'« il n'y a pas de x ». Une fonction constante est affine, avec a = 0. Sa courbe est une droite horizontale, et toutes les propriétés des fonctions affines s'y appliquent. La refuser fait perdre le point, et fait rater les questions sur les droites horizontales plus loin dans le chapitre. À retenir : f(x) = ax + b avec a et b fixés, et x à la puissance 1 uniquement. 👉 Contrôle visuel : une fonction est affine si et seulement si sa courbe est une droite. C'est le moyen le plus rapide de trancher.