Limite et asymptote

Énoncé

Soit y la solution de y' = -3y + 12 vérifiant y(0) = 2. a) Déterminer y(x). b) Calculer _{x +} y(x) et interpréter géométriquement. c) Montrer que y est croissante sur R.

Indice : Pour c), calcule y' et étudie son signe.

Correction

1. Étape 1 : **a)** -b{a} = 4. y(x) = C\,e^{-3x} + 4. y(0) = C + 4 = 2, donc C = -2. y(x) = -2\,e^{-3x} + 4 = 4 - 2e^{-3x}.

   y(x) = 4 - 2e^{-3x}

2. Étape 2 : **b)** e^{-3x} 0 quand x +, donc y(x) 4. La droite y = 4 est **asymptote horizontale** à la courbe en +.

   _{x +} y(x) = 4

3. Étape 3 : **c)** y'(x) = 6\,e^{-3x} > 0 pour tout x (car e^{-3x} > 0). Donc y est **strictement croissante** sur R. Alternative : y'(x) = -3y(x) + 12 = -3(y(x) - 4). Comme y(x) < 4 pour tout x (vérification facile), y(x) - 4 < 0, donc y'(x) > 0.