Limite et asymptote

Énoncé

Soit y la solution de y' = -3y + 12 vérifiant y(0) = 2. a) Déterminer y(x). b) Calculer _{x +} y(x) et interpréter géométriquement. c) Montrer que y est croissante sur R.

Indice : Pour c), calcule y' et étudie son signe.

Correction

1. Étape 1 : Trois questions qui décrivent la même solution sous trois angles : sa formule, son comportement à l'infini, son sens de variation. 👉 Le fil conducteur est l'équilibre -b{a}. C'est lui qui donne l'asymptote, et c'est la position de y par rapport à lui qui donne la monotonie. ℹ️ Un fait à garder en tête pour la question c) : quand a < 0, une solution approche l'équilibre sans jamais l'atteindre — donc elle reste toujours du même côté. C'est ce qui rend son sens de variation constant sur R tout entier.
2. Étape 2 : a) y' = -3y + 12 : a = -3, b = 12. -b{a} = -12{-3} = 4, donc y(x) = C\,e^{-3x} + 4. La condition y(0) = 2 donne C + 4 = 2, soit C = -2 : [formule] Vérification : y(0) = 4 - 2 = 2 ✓

   y(x) = 4 - 2\,e^{-3x}

3. Étape 3 : b) Quand x +, l'exposant -3x -, donc e^{-3x} 0 : [formule] Interprétation géométrique : la droite d'équation y = 4 est asymptote horizontale à la courbe en +. 👉 La courbe s'en approche par en dessous, puisque y(x) = 4 - 2e^{-3x} et que 2e^{-3x} > 0 : on retranche toujours quelque chose de positif à 4. Elle ne l'atteint donc jamais. ℹ️ Cette limite est exactement l'équilibre -b{a} trouvé en a) — c'est systématique quand a < 0.

   _{x +} y(x) = 4 (asymptote y = 4)

4. Étape 4 : c) On dérive directement : y'(x) = -2 (-3)\,e^{-3x} = 6\,e^{-3x} Comme e^{-3x} > 0 pour tout réel x : [formule] y est strictement croissante sur R. 👉 Second raisonnement, sans dériver — et il éclaire la structure : l'équation elle-même donne y' = -3y + 12 = -3(y - 4). Or y(x) = 4 - 2e^{-3x} < 4 pour tout x, puisque 2e^{-3x} > 0. Donc y - 4 < 0, et -3(y-4) > 0. La solution est en dessous de l'équilibre, donc elle monte vers lui. Le sens de variation se lit sur la position par rapport à l'équilibre, sans aucun calcul de dérivée.

   y'(x) = 6\,e^{-3x} > 0

5. Étape 5 : L'erreur classique : Affirmer y(x) < 4 « c'est évident » sans le justifier. Ce n'est évident qu'une fois écrit : y(x) = 4 - 2e^{-3x} et 2e^{-3x} > 0, donc on retranche à 4 une quantité strictement positive. Une ligne, et l'argument devient une démonstration. 👉 C'est ce qui distingue les deux raisonnements de c) : le premier calcule, le second utilise l'équation. Le second est plus rapide et plus général — il vaut pour n'importe quelle solution de n'importe quelle équation de ce type. À retenir : a < 0 toutes les solutions convergent vers l'équilibre -b{a}, qui est asymptote horizontale. 👉 Et le sens de variation se lit sur la position par rapport à cet équilibre : en dessous ça monte ; au-dessus ça descend. Aucune dérivée nécessaire.