Refroidissement de Newton

Énoncé

Un café à T_0 = 80°C est posé dans une pièce à T_{amb} = 22°C. La loi de Newton donne : T'(t) = -0{,}04\,(T(t) - 22) (avec t en minutes). a) Mettre l'équation sous la forme y' = ay + b et identifier a et b. b) Exprimer T(t) en fonction de t. c) Au bout de combien de minutes la température atteint-elle 40°C ?

Indice : a) Développer pour identifier a et b. c) Résoudre T(t) = 40.

Correction

1. Étape 1 : **a)** T'(t) = -0{,}04\,T(t) + 0{,}04 22 = -0{,}04\,T(t) + 0{,}88. Donc a = -0{,}04 et b = 0{,}88.
2. Étape 2 : **b)** -b{a} = -0{,88}{-0{,}04} = 22. T(t) = C\,e^{-0{,}04\,t} + 22. T(0) = C + 22 = 80, donc C = 58. T(t) = 58\,e^{-0{,}04\,t} + 22.

   T(t) = 58\,e^{-0{,}04\,t} + 22

3. Étape 3 : **c)** T(t) = 40 58\,e^{-0{,}04\,t} = 18 e^{-0{,}04\,t} = 18{58} = 9{29}.
4. Étape 4 : -0{,}04\,t = (9{29}), donc t = (29/9){0{,}04} 1{,169}{0{,}04} 29{,}2 min.

   t 29 min