Refroidissement de Newton

Énoncé

Un café à T_0 = 80°C est posé dans une pièce à T_{amb} = 22°C. La loi de Newton donne : T'(t) = -0{,}04\,(T(t) - 22) (avec t en minutes). a) Mettre l'équation sous la forme y' = ay + b et identifier a et b. b) Exprimer T(t) en fonction de t. c) Au bout de combien de minutes la température atteint-elle 40°C ?

Indice : a) Développer pour identifier a et b. c) Résoudre T(t) = 40.

Correction

1. Étape 1 : La loi de Newton du refroidissement, et c'est un cas où l'équation dit quelque chose de physique avant tout calcul : [formule] 👉 La vitesse de refroidissement est proportionnelle à l'écart avec la température ambiante. Un café très chaud refroidit vite ; à mesure qu'il s'approche de 22 °C, il refroidit de plus en plus lentement. C'est exactement ce que chacun observe. ⚠️ Et la constante 22 apparaît deux fois dans la solution : une fois comme second membre de l'équation, une fois comme équilibre -b{a}. Ce n'est pas une coïncidence — c'est la même température ambiante, vue de deux façons.
2. Étape 2 : a) On développe pour atteindre la forme canonique : T'(t) = -0{,}04\,T(t) + 0{,}04 22 = -0{,}04\,T(t) + 0{,}88 [formule] ℹ️ a est en min^{-1} et b en °C·min^{-1} — les unités sont cohérentes, chaque terme étant une vitesse de variation de température.

   a = -0{,}04 \ ; b = 0{,}88

3. Étape 3 : b) L'équilibre : -b{a} = -0{,88}{-0{,}04} = 22 👉 On retrouve la température ambiante, et c'est le contrôle le plus rapide de tout l'exercice : le café finit par atteindre la température de la pièce, pas autre chose. Un résultat différent signalerait une erreur de développement. T(t) = C\,e^{-0{,}04\,t} + 22, et la condition T(0) = 80 donne C + 22 = 80, donc C = 58 [formule] ℹ️ Le 58 est l'écart initial avec l'ambiante (80 - 22). C'est lui qui décroît exponentiellement, pas la température elle-même.

   T(t) = 58\,e^{-0{,}04\,t} + 22

4. Étape 4 : c) On cherche t tel que T(t) = 40 : 58\,e^{-0{,}04\,t} + 22 = 40 58\,e^{-0{,}04\,t} = 18 e^{-0{,}04\,t} = 18{58} = 9{29} On passe au logarithme : -0{,}04\,t = \!(9{29}) = -\!(29{9}) [formule] 👉 Contrôle de plausibilité : un café passe de 80 °C à 40 °C en une demi-heure environ. C'est l'ordre de grandeur qu'on observe — le modèle est raisonnable.

   t = (29/9){0{,}04} 29 min

5. Étape 5 : L'erreur classique : Écrire 58\,e^{-0{,}04t} = 40 en oubliant de retrancher le 22 d'abord. L'exponentielle porte sur l'écart à l'ambiante, pas sur la température. Oublier le 22 donnerait t 9 min — un résultat qui devrait alerter, car il correspondrait à un refroidissement bien trop rapide. 👉 Réflexe : isoler l'exponentielle avant de prendre le logarithme. Le logarithme ne se distribue pas sur une somme. À retenir : Dans y = C\,e^{at} + K, la constante K est l'état d'équilibre, et C l'écart initial à cet équilibre. 👉 Ici : équilibre 22 °C (la pièce), écart initial 58 °C. Les deux se lisent physiquement, et servent de contrôle.