Décroissance radioactive

Énoncé

La masse m(t) (en grammes) d'un échantillon radioactif d'iode 131 vérifie m'(t) = -0{,}086\,m(t), où t est en jours. À t = 0, on a m(0) = 20 g. a) Exprimer m(t) en fonction de t. b) Calculer la masse au bout de 10 jours. c) Déterminer la demi-vie T (temps après lequel la masse a diminué de moitié).

Indice : Équation y' = ay avec a = -0{,}086. Pour la demi-vie : résoudre m(T) = 10.

Correction

1. Étape 1 : Première application physique, et l'énoncé fournit déjà l'équation : m' = -0{,}086\,m. 👉 D'où vient-elle ? De l'hypothèse fondamentale de la radioactivité : le nombre de désintégrations par seconde est proportionnel au nombre de noyaux présents. Deux fois plus de matière, deux fois plus de désintégrations. Le signe moins traduit que la masse diminue. ⚠️ Le coefficient 0{,}086 porte une unité : des jour^{-1}, puisque t est en jours. C'est ce qui rend les réponses interprétables — et une réponse sans unité est incomplète. ℹ️ La demi-vie est la grandeur que les physiciens utilisent réellement, parce qu'elle est plus parlante que : « il en reste la moitié au bout de tant de temps ».
2. Étape 2 : a) L'équation est de la forme y' = ay avec a = -0{,}086 : m(t) = C\,e^{-0{,}086\,t} La condition initiale m(0) = 20 donne C = 20 : [formule] (masse en grammes, t en jours)

   m(t) = 20\,e^{-0{,}086\,t}

3. Étape 3 : b) On remplace t par 10 : m(10) = 20\,e^{-0{,}086 10} = 20\,e^{-0{,}86} e^{-0{,}86} 0{,}4232, donc [formule] 👉 Contrôle de bon sens : on est passé de 20 g à 8,46 g, soit un peu moins de la moitié. La demi-vie doit donc être légèrement inférieure à 10 jours — ce que la question c) va confirmer.

   m(10) 8{,}46 g

4. Étape 4 : c) La demi-vie. On cherche T tel que m(T) = 10, la moitié de 20 : 20\,e^{-0{,}086\,T} = 10 e^{-0{,}086\,T} = 0{,}5 On passe au logarithme, en écrivant (0{,}5) = - 2 : -0{,}086\,T = - 2 Les deux signes moins se compensent : [formule] ✓ Cohérent avec le contrôle de b) : un peu moins de 10 jours. ℹ️ C'est la vraie demi-vie de l'iode 131, utilisé en médecine nucléaire — et c'est précisément parce qu'elle est courte qu'il est employé : le patient cesse rapidement d'être radioactif.

   T = 2{0{,}086} 8{,}06 jours

5. Étape 5 : L'erreur classique : Croire que la demi-vie dépend de la masse de départ. Le 20 se simplifie dès la première ligne : 20\,e^{- T} = 10 e^{- T} = 0{,}5. Partir de 20 g ou d'une tonne donne la même demi-vie. C'est la propriété caractéristique de la décroissance exponentielle, et c'est ce qui rend la datation possible. 👉 Formule générale à retenir : T = 2{|a|}, quelle que soit la quantité initiale. À retenir : Le coefficient a porte une unité : ici des jour^{-1}. Répondre sans unité, c'est répondre à moitié. 👉 Et contrôler par le bon sens avant de calculer : « il reste moins de la moitié à 10 jours, donc T < 10 » aurait détecté une erreur de signe instantanément.