Décroissance radioactive

Énoncé

La masse m(t) (en grammes) d'un échantillon radioactif d'iode 131 vérifie m'(t) = -0{,}086\,m(t), où t est en jours. À t = 0, on a m(0) = 20 g. a) Exprimer m(t) en fonction de t. b) Calculer la masse au bout de 10 jours. c) Déterminer la **demi-vie** T (temps après lequel la masse a diminué de moitié).

Indice : Équation y' = ay avec a = -0{,}086. Pour la demi-vie : résoudre m(T) = 10.

Correction

1. Étape 1 : **a)** m(t) = C\,e^{-0{,}086\,t}. m(0) = C = 20. Donc m(t) = 20\,e^{-0{,}086\,t}.

   m(t) = 20\,e^{-0{,}086\,t}

2. Étape 2 : **b)** m(10) = 20\,e^{-0{,}86} 20 0{,}423 8{,}46 g.

   m(10) 8{,}46 g

3. Étape 3 : **c)** m(T) = 10 20\,e^{-0{,}086\,T} = 10 e^{-0{,}086\,T} = 0{,}5 -0{,}086\,T = (0{,}5) = -(2).
4. Étape 4 : T = 2{0{,}086} 8{,}06 jours. La demi-vie de l'iode 131 est d'environ **8 jours**.

   T = 2{0{,}086} 8{,}06 jours