Solution avec condition initiale (y' = ay + b)

Énoncé

Déterminer l'unique solution : a) y' = 2y + 4 avec y(0) = 1. b) y' = -y + 3 avec y(0) = 5. c) 2y' + y = 6 avec y(0) = 0.

Indice : Forme générale puis condition initiale.

Correction

1. Étape 1 : **a)** -b{a} = -2. y(x) = C\,e^{2x} - 2. y(0) = C - 2 = 1, donc C = 3. **Solution** : y(x) = 3\,e^{2x} - 2.

   y(x) = 3\,e^{2x} - 2

2. Étape 2 : **b)** -b{a} = 3. y(x) = C\,e^{-x} + 3. y(0) = C + 3 = 5, donc C = 2. **Solution** : y(x) = 2\,e^{-x} + 3.

   y(x) = 2\,e^{-x} + 3

3. Étape 3 : **c)** 2y' + y = 6 y' = -1{2}y + 3. -b{a} = 6. y(x) = C\,e^{-x/2} + 6. y(0) = C + 6 = 0, donc C = -6. **Solution** : y(x) = -6\,e^{-x/2} + 6 = 6(1 - e^{-x/2}).

   y(x) = 6(1 - e^{-x/2})