Solution avec condition initiale (y' = ay + b)

Énoncé

Déterminer l'unique solution : a) y' = 2y + 4 avec y(0) = 1. b) y' = -y + 3 avec y(0) = 5. c) 2y' + y = 6 avec y(0) = 0.

Indice : Forme générale puis condition initiale.

Correction

1. Étape 1 : Les deux compétences réunies : forme générale avec second membre, puis condition initiale. La démarche complète : 1. amener à y' = ay + b ; 2. écrire y(x) = C\,e^{ax} - b{a} ; 3. remplacer la condition pour obtenir C ; 4. réécrire, et vérifier. ⚠️ En x = 0, C n'est PLUS la valeur initiale — contrairement au cas sans second membre. On a y(0) = C - b{a}, donc il faut résoudre une petite équation. C'est l'oubli le plus fréquent quand on passe de y' = ay à y' = ay + b.
2. Étape 2 : a) y' = 2y + 4 avec y(0) = 1. a = 2, b = 4, donc -b{a} = -2 et y(x) = C\,e^{2x} - 2. On remplace : y(0) = C\,e^0 - 2 = C - 2 = 1, donc C = 3 [formule] Vérification : y(0) = 3 - 2 = 1 ✓ et y' = 6e^{2x}, tandis que 2y+4 = 6e^{2x} - 4 + 4 = 6e^{2x} ✓

   y(x) = 3\,e^{2x} - 2

3. Étape 3 : b) y' = -y + 3 avec y(0) = 5. a = -1, b = 3, donc -b{a} = -3{-1} = 3 et y(x) = C\,e^{-x} + 3. y(0) = C + 3 = 5, donc C = 2 : [formule] ℹ️ Comme a < 0, la solution décroît de 5 vers 3 : elle part de la condition initiale et rejoint l'équilibre. Un graphique mental suffit à contrôler la cohérence.

   y(x) = 2\,e^{-x} + 3

4. Étape 4 : c) 2y' + y = 6 avec y(0) = 0. Il faut d'abord isoler : 2y' = -y + 6, donc y' = -1{2}y + 3 : a = -1{2} et b = 3. -b{a} = -3{-1/2} = 6, donc y(x) = C\,e^{-x/2} + 6. y(0) = C + 6 = 0, donc C = -6 : [formule] 👉 La forme factorisée est plus parlante : elle montre que y part de 0 et croît vers 6, en s'en approchant sans jamais l'atteindre. C'est la forme d'une charge — de condensateur, de réservoir, de médicament dans le sang.

   y(x) = 6(1 - e^{-x/2})

5. Étape 5 : L'erreur classique : Poser C = 1 en a) parce que y(0) = 1. Avec un second membre, y(0) = C - b{a} et non C. Ici C - 2 = 1 donne C = 3. L'automatisme acquis sur y' = ay se transporte à tort. 👉 Le contrôle : recalculer y(0) avec la solution finale. Si l'on ne retombe pas sur la valeur donnée, C est faux. À retenir : Avec un second membre, la condition initiale donne une équation en C — elle ne donne pas C directement. 👉 Et penser à factoriser la solution quand c'est possible : 6(1-e^{-x/2}) se lit d'un coup d'œil, -6e^{-x/2}+6 non.