Isoler y' (forme avec second membre)

Énoncé

Résoudre sur R les équations suivantes : a) 2y' + 4y = 6 b) -3y' + 6y = 12 c) y' + 2y - 7 = 0

Indice : Isole y' pour amener l'équation à la forme y' = ay + b, puis applique la formule.

Correction

1. Étape 1 : Combinaison des deux compétences précédentes : isoler y', puis appliquer la formule à second membre. 👉 L'ordre importe. On amène d'abord l'équation à la forme canonique y' = ay + b — avec un coefficient 1 devant y' — et seulement ensuite on lit a et b. ⚠️ Lire a et b avant d'avoir isolé y' est l'erreur qui produit le plus de réponses fausses de ce chapitre : dans 2y' + 4y = 6, ni 4 ni 6 ne sont les bons coefficients.
2. Étape 2 : a) 2y' + 4y = 6. On isole : 2y' = -4y + 6, puis on divise tout par 2 : y' = -2y + 3, donc a = -2 et b = 3 -b{a} = -3{-2} = 3{2} [formule] ⚠️ Diviser tous les termes, y compris le second membre : oublier le 6 donnerait b = 6 et un équilibre à 3 au lieu de 3{2}.

   y(x) = C\,e^{-2x} + 3{2}

3. Étape 3 : b) -3y' + 6y = 12 — attention, le coefficient de y' est négatif. -3y' = -6y + 12, puis on divise par -3 : y' = 2y - 4, donc a = 2 et b = -4 -b{a} = --4{2} = +2 [formule] 👉 Diviser par un nombre négatif change le signe de chaque terme : -6y devient +2y et +12 devient -4. C'est le point le plus délicat de l'exercice.

   y(x) = C\,e^{2x} + 2

4. Étape 4 : c) y' + 2y - 7 = 0 — le second membre est ici du mauvais côté. On isole y' en faisant passer les deux autres termes : y' = -2y + 7, donc a = -2 et b = 7 -b{a} = 7{2} [formule] Vérification de l'équilibre : avec y = 7{2} constant, y' = 0 et -2 7{2} + 7 = -7 + 7 = 0 ✓

   y(x) = C\,e^{-2x} + 7{2}

5. Étape 5 : L'erreur classique : Diviser seulement le membre de gauche, ou oublier que diviser par un négatif change tous les signes. En b), diviser -3y' = -6y + 12 par -3 donne y' = 2y - 4 : le -6 devient +2 et le +12 devient -4. Un seul des deux changements donnerait une équation fausse. À retenir : Forme canonique d'abord : y' seul, coefficient 1. Lire a et b ensuite, jamais avant. 👉 Et le contrôle gratuit : -b{a} doit annuler ay + b. Si ce n'est pas le cas, l'erreur est en amont.