Résoudre y' = ay + b (cas simples)

Énoncé

Résoudre sur R les équations différentielles suivantes : a) y' = 3y + 6 b) y' = -2y + 8 c) y' = -0{,}5\,y + 1

Indice : Les solutions de y' = ay + b sont y(x) = C\,e^{ax} - b{a}.

Correction

1. Étape 1 : Un terme constant s'ajoute à l'équation, et la solution gagne une constante additive. L'équation y' = ay + b (avec a 0) : [formule] 👉 La quantité -b{a} n'est pas un coefficient de plus : c'est la solution constante de l'équation. Si y vaut -b{a} partout, alors y' = 0 et ay + b = a (-b{a}) + b = 0 ✓ — l'équation est vérifiée, et la fonction ne bouge plus. C'est l'état d'équilibre du système : la température de la pièce, la tension du générateur, la population stable. Toutes les autres solutions s'en approchent ou s'en éloignent selon le signe de a. ⚠️ Le piège est le double signe : -b{a} avec b ou a négatifs donne un résultat positif. Le calculer à part, jamais de tête.
2. Étape 2 : a) y' = 3y + 6 : a = 3, b = 6. -b{a} = -6{3} = -2 [formule] Vérification : y' = 3C\,e^{3x}, et 3y + 6 = 3C\,e^{3x} - 6 + 6 = 3C\,e^{3x} ✓

   y(x) = C\,e^{3x} - 2

3. Étape 3 : b) y' = -2y + 8 : a = -2, b = 8. -b{a} = -8{-2} = +4 [formule] 👉 Les deux signes moins se compensent : le résultat est positif. C'est le cas le plus fréquent en physique (où a < 0 décrit une relaxation vers l'équilibre), et donc le piège le plus fréquent.

   y(x) = C\,e^{-2x} + 4

4. Étape 4 : c) y' = -0{,}5\,y + 1 : a = -0{,}5, b = 1. -b{a} = -1{-0{,}5} = +2 [formule] ℹ️ Comme a < 0, l'exponentielle tend vers 0 : toutes les solutions convergent vers 2, quelle que soit la valeur de C. La constante -b{a} est bien l'état d'équilibre vers lequel le système revient.

   y(x) = C\,e^{-0{,}5\,x} + 2

5. Étape 5 : L'erreur classique : Écrire +b{a} au lieu de -b{a}, ou se tromper dans le double signe. Le contrôle qui tranche : la constante trouvée doit être solution de l'équation à elle seule. En b), tester y = 4 : y' = 0 et -2 4 + 8 = 0 ✓. Avec -4, on obtiendrait 8 + 8 = 16 0 — l'erreur est visible sur-le-champ. À retenir : y' = ay + b y = C\,e^{ax} - b{a}, et -b{a} est l'état d'équilibre. 👉 Pour le vérifier : c'est la valeur constante qui annule ay + b. Un calcul de tête, une erreur en moins.