Solution avec condition initiale (y' = ay)

Énoncé

Déterminer l'unique solution de chaque équation vérifiant la condition initiale donnée : a) y' = 2y et y(0) = 3 b) y' = -y et y(0) = 5 c) y' = 0{,}5\,y et y(2) = e

Indice : Forme générale y(x) = C\,e^{ax}, puis utilise la condition pour trouver C.

Correction

1. Étape 1 : Une condition initiale transforme une famille infinie de solutions en une seule. Résoudre avec une condition : 1. écrire la forme générale y(x) = C\,e^{ax} ; 2. y remplacer la valeur donnée pour obtenir une équation en C ; 3. résoudre, puis réécrire la solution complète. 👉 C'est ainsi que fonctionne toute la modélisation : l'équation décrit la loi d'évolution, la condition initiale décrit l'état de départ. Deux informations différentes, et il faut les deux pour prédire quoi que ce soit. ⚠️ La condition n'est pas toujours donnée en x = 0 — la question c) la donne en x = 2. La méthode ne change pas, seul le calcul de C demande un peu plus de soin.
2. Étape 2 : a) y' = 2y avec y(0) = 3. Forme générale : y(x) = C\,e^{2x}. On remplace x par 0, en notant que e^0 = 1 : y(0) = C\,e^{0} = C = 3 [formule] 👉 Quand la condition est en x = 0, C EST la valeur initiale. C'est ce qui rend ce cas si commode, et c'est pourquoi les modèles physiques placent presque toujours l'origine au début de l'expérience.

   y(x) = 3\,e^{2x}

3. Étape 3 : b) y' = -y avec y(0) = 5. Ici a = -1 (le coefficient est sous-entendu) : y(x) = C\,e^{-x}. y(0) = C = 5 [formule]

   y(x) = 5\,e^{-x}

4. Étape 4 : c) y' = 0{,}5\,y avec y(2) = e — la condition n'est plus en 0. Forme générale : y(x) = C\,e^{0{,}5\,x}. On remplace x par 2 : y(2) = C\,e^{0{,}5 2} = C\,e^{1} = C\,e L'équation devient C\,e = e, donc C = 1 : [formule] Vérification : y(2) = e^{1} = e ✓

   y(x) = e^{0{,}5\,x}

5. Étape 5 : L'erreur classique : Poser C = 3 (ou C = e) sans calculer, en recopiant simplement la valeur donnée. Cela ne marche que si la condition est en x = 0. En c), la valeur donnée est e et pourtant C = 1 : c'est l'exponentielle qui absorbe la différence. Toujours remplacer et résoudre, même quand la réponse paraît évidente. À retenir : La condition initiale fixe C, et C n'est la valeur initiale que si la condition est donnée en x = 0. 👉 Et la vérification est immédiate : recalculer y au point donné doit redonner la valeur de l'énoncé.