Isoler y' avant résolution
Énoncé
Résoudre sur R les équations suivantes :
a) 2y' - 6y = 0
b) 3y' + 9y = 0
c) 4y' + y = 0
Indice : Isole d'abord y' pour identifier a, puis applique la formule générale.
Correction
- Étape 1 : La formule ne s'applique qu'à la forme y' = ay. Quand l'équation est présentée autrement, le premier travail est de l'y ramener.
Isoler y' avant tout :
1. mettre y' seul dans le membre de gauche, avec un coefficient 1 ;
2. lire a — son signe compris ;
3. appliquer la formule.
⚠️ C'est à l'étape 1 que les erreurs se produisent, et elles portent toutes sur un signe. Une équation écrite 3y' + 9y = 0 donne a = -3 et non +3 : le terme en y change de côté, donc de signe.
👉 Le contrôle qui rattrape tout : remplacer la solution trouvée dans l'équation de départ. Une erreur de signe s'y voit immédiatement.
- Étape 2 : a) 2y' - 6y = 0.
On isole y' : 2y' = 6y, puis on divise par 2 :
y' = 3y, donc a = 3
[formule]
y(x) = C\,e^{3x}
- Étape 3 : b) 3y' + 9y = 0.
3y' = -9y, donc y' = -3y et a = -3.
[formule]
Vérification : y' = -3C\,e^{-3x}, donc 3y' + 9y = -9C\,e^{-3x} + 9C\,e^{-3x} = 0 ✓
👉 Avec a = +3 par erreur, cette vérification donnerait 9Ce^{3x} + 9Ce^{3x} = 18Ce^{3x} 0 — l'erreur saute aux yeux.
y(x) = C\,e^{-3x}
- Étape 4 : c) 4y' + y = 0.
4y' = -y, puis on divise par 4 :
y' = -1{4}y, donc a = -1{4}
[formule]
⚠️ Ici le coefficient de y vaut 1 (il est sous-entendu), et c'est le 4 devant y' qui devient un dénominateur. C'est la configuration où l'on oublie le plus souvent de diviser.
y(x) = C\,e^{-x/4}
- Étape 5 : L'erreur classique :
Lire a directement sur l'équation sans isoler y' — par exemple annoncer a = 9 pour 3y' + 9y = 0.
Deux erreurs se cumulent alors : le signe (le terme passe de l'autre côté) et le coefficient (il faut diviser par 3). Isoler y' n'est pas une formalité : c'est ce qui donne a.
À retenir :
Isoler y' avec un coefficient 1, puis lire a, signe compris.
👉 Et vérifier en remplaçant dans l'équation de départ : dix secondes qui attrapent toutes les erreurs de signe.