Résoudre y' = ay (cas simples)

Énoncé

Résoudre sur R les équations différentielles suivantes : a) y' = 5y b) y' = -3y c) y' = 0{,}25\,y

Indice : Les solutions de y' = ay sont les fonctions y(x) = C\,e^{ax} où C R.

Correction

1. Étape 1 : Une équation différentielle ne cherche pas un nombre mais une fonction : celle dont la dérivée est proportionnelle à elle-même. L'équation y' = ay : Les solutions sur R sont les fonctions [formule] 👉 Pourquoi l'exponentielle ? Parce que (e^{ax})' = a\,e^{ax} : elle est, à un facteur près, sa propre dérivée. C'est exactement ce que l'équation demande, et c'est la propriété qui rend l'exponentielle irremplaçable en physique. ⚠️ Il y a une infinité de solutions, une par valeur de C. Répondre « y = e^{ax} » n'en donne qu'une — c'est incomplet, et cela coûte des points.
2. Étape 2 : a) y' = 5y : on identifie a = 5. [formule] Vérification — elle prend cinq secondes et vaut d'être faite au moins une fois : y'(x) = 5C\,e^{5x}, et 5y(x) = 5C\,e^{5x}. Les deux coïncident ✓

   y(x) = C\,e^{5x}

3. Étape 3 : b) y' = -3y : ici a = -3, le signe fait partie de a. [formule] 👉 Le signe de a décide du comportement : a < 0 donne une exponentielle décroissante vers 0 (désintégration, refroidissement, décharge), a > 0 une croissance explosive (population, capital). Lire le signe, c'est déjà savoir à quoi ressemble la courbe.

   y(x) = C\,e^{-3x}

4. Étape 4 : c) y' = 0{,}25\,y : a = 0{,}25. [formule] ℹ️ Un a décimal n'a rien de particulier — on le recopie tel quel dans l'exposant. On peut aussi écrire e^{x/4}, les deux formes étant équivalentes.

   y(x) = C\,e^{0{,}25\,x} = C\,e^{x/4}

5. Étape 5 : L'erreur classique : Oublier la constante C, ou la fixer arbitrairement à 1. Une équation différentielle du premier ordre a une famille de solutions, pas une seule : il faut une condition supplémentaire — une valeur en un point — pour en choisir une. Sans elle, la réponse doit garder son C et préciser « C R ». 👉 Second réflexe : C = 0 donne la fonction nulle, qui est bien solution (0' = a 0). Elle fait partie de la famille, il ne faut pas l'exclure. À retenir : y' = ay y(x) = C\,e^{ax} — l'exponentielle est la fonction proportionnelle à sa dérivée. 👉 Et le signe de a se lit comme un comportement : négatif décroissance vers 0 ; positif croissance exponentielle.