Calculer la probabilité à long terme

Énoncé

Soit une chaîne de Markov avec P = pmatrix 0{,}4 & 0{,}6 0{,}2 & 0{,}8 pmatrix et ^{(0)} = (1, 0). Calculer ^{(10)} en utilisant la distribution stationnaire.

Indice : Trouve d'abord la distribution stationnaire . Pour un grand n, ^{(n)} (distribution stationnaire).

Correction

1. Étape 1 : On trouve d'abord la distribution stationnaire = (_1, _2) en résolvant = P.
2. Étape 2 : De = P, on obtient : _1 = 0{,}4_1 + 0{,}2_2 et _2 = 0{,}6_1 + 0{,}8_2.
3. Étape 3 : De la première équation : 0{,}6_1 = 0{,}2_2, donc _2 = 3_1.
4. Étape 4 : Avec _1 + _2 = 1, on obtient _1 + 3_1 = 1, donc _1 = 1{4} et _2 = 3{4}.
5. Étape 5 : La distribution stationnaire est = (1{4}, 3{4}).
6. Étape 6 : Pour un grand n (comme n = 10), la distribution ^{(n)} se rapproche de la distribution stationnaire.
7. Étape 7 : On peut donc approximer ^{(10)} (1{4}, 3{4}).