Trouver la distribution stationnaire

Énoncé

Soit P = pmatrix 0{,}5 & 0{,}5 0{,}3 & 0{,}7 pmatrix la matrice de transition d'une chaîne de Markov. Trouver la distribution stationnaire = (_1, _2).

Indice : Résous le système = P avec _1 + _2 = 1.

Correction

1. Étape 1 : Une distribution est stationnaire quand une étape de plus ne la change pas : = P. C'est l'équilibre vers lequel la chaîne tend. Le système à résoudre : = P et _1 + _2 = 1 La seconde condition n'est pas décorative : sans elle, = (0\,;\,0) conviendrait, et tous les multiples d'une solution aussi.
2. Étape 2 : On écrit = P, composante par composante. La colonne 1 de P donne la première équation :

   _1 = 0{,}5\,_1 + 0{,}3\,_2

3. Étape 3 : On simplifie. En retranchant 0{,}5_1 des deux côtés :

   0{,}5\,_1 = 0{,}3\,_2 _1 = 0{,}6\,_2

4. Étape 4 : On injecte dans la condition de somme, ce qui donne une équation à une inconnue :

   0{,}6\,_2 + _2 = 1 1{,}6\,_2 = 1

5. Étape 5 : On conclut, en préférant les fractions aux décimaux pour garder des valeurs exactes :

   _2 = 1{1{,}6} = 5{8} _1 = 0{,}6 5{8} = 3{8}

6. Étape 6 : La vérification, faite pour de bon. On calcule P et l'on doit retrouver :

   (3{8}\,;\,5{8})P = (3{8}(0{,}5) + 5{8}(0{,}3)\ ;\ 3{8}(0{,}5) + 5{8}(0{,}7))

7. Étape 7 : En décimaux : 0{,}1875 + 0{,}1875 = 0{,}375 = 3{8} et 0{,}1875 + 0{,}4375 = 0{,}625 = 5{8}. On retrouve bien . La deuxième équation ne sert à rien : Elle donne _2 = 0{,}5_1 + 0{,}7_2, soit 0{,}3_2 = 0{,}5_1 — exactement la même information que la première, réécrite. C'est normal : les lignes de P sommant à 1, le système = P est toujours redondant. Sans la condition _1 + _2 = 1, il n'aurait pas de solution unique. Un contrôle avant même de calculer : L'état 2 retient 70\,\% de ce qu'il a, l'état 1 seulement 50\,\% : l'équilibre doit donc pencher vers 2. On trouve 5{8} > 3{8} : cohérent. Un résultat penchant vers 1 aurait signalé une inversion de lignes.