Identifier les états absorbants

Énoncé

Soit P = pmatrix 0{,}3 & 0{,}5 & 0{,}2 0 & 1 & 0 0 & 0 & 1 pmatrix la matrice de transition d'une chaîne de Markov. Identifier les états absorbants.

Indice : Un état i est absorbant si p_{i,i} = 1 (et donc p_{i,j} = 0 pour j i).

Correction

1. Étape 1 : Un état est absorbant quand on ne peut plus en sortir : une fois arrivé, on y reste pour toujours. Cela se lit sur une seule ligne. État absorbant : L'état i est absorbant lorsque p_{i,i} = 1. La ligne somme à 1, donc tous les autres coefficients de la ligne sont automatiquement nuls.
2. Étape 2 : État 1. La ligne 1 est (0{,}3\,;\,0{,}5\,;\,0{,}2) : on a 70\,\% de chances d'en sortir. p_{1,1} = 0{,}3 1, donc il n'est pas absorbant.
3. Étape 3 : État 2. La ligne 2 est (0\,;\,1\,;\,0), donc p_{2,2} = 1 : absorbant.
4. Étape 4 : État 3. La ligne 3 est (0\,;\,0\,;\,1), donc p_{3,3} = 1 : absorbant.
5. Étape 5 : Les états absorbants sont donc 2 et 3.

   états absorbants = \{2,\ 3\}

6. Étape 6 : Ce que devient la chaîne. Depuis l'état 1, on finit forcément par tomber en 2 ou en 3, et l'on y reste. La question intéressante n'est plus « où sera-t-on ? » mais « avec quelle probabilité finit-on en 2 plutôt qu'en 3 ? » — ici 0{,5}{0{,}7} contre 0{,2}{0{,}7}, puisque seule la proportion entre les deux sorties compte. Ne pas confondre avec une ligne qui somme à 1 : TOUTES les lignes d'une matrice stochastique somment à 1 — ce n'est donc pas un critère. Ce qui caractérise un état absorbant, c'est que ce 1 soit sur la diagonale. Une chaîne absorbante n'a pas de distribution stationnaire unique : Ici (0\,;\,1\,;\,0) et (0\,;\,0\,;\,1) sont toutes deux stationnaires, ainsi que tous leurs mélanges. Le théorème d'unicité des exercices 39012 et 39014 suppose que tous les états communiquent — ce n'est pas le cas dès qu'il y a un état absorbant.