Calculer les probabilités de transition en 2 étapes

Énoncé

Soit P = pmatrix 0{,}4 & 0{,}6 0{,}2 & 0{,}8 pmatrix la matrice de transition d'une chaîne de Markov. Calculer P^2 et interpréter le coefficient (P^2)_{1,2}.

Indice : Calcule P^2 = P P. Le coefficient (P^2)_{i,j} donne la probabilité de passer de l'état i à l'état j en exactement 2 étapes.

Correction

1. Étape 1 : On calcule P^2 = P P.

   P^2 = pmatrix 0{,}4 & 0{,}6 0{,}2 & 0{,}8 pmatrix^2

2. Étape 2 : On effectue le produit matriciel.

   P^2 = pmatrix 0{,}4 0{,}4 + 0{,}6 0{,}2 & 0{,}4 0{,}6 + 0{,}6 0{,}8 0{,}2 0{,}4 + 0{,}8 0{,}2 & 0{,}2 0{,}6 + 0{,}8 0{,}8 pmatrix

3. Étape 3 : On calcule les coefficients.

   P^2 = pmatrix 0{,}16 + 0{,}12 & 0{,}24 + 0{,}48 0{,}08 + 0{,}16 & 0{,}12 + 0{,}64 pmatrix = pmatrix 0{,}28 & 0{,}72 0{,}24 & 0{,}76 pmatrix

4. Étape 4 : Le coefficient (P^2)_{1,2} = 0{,}72 signifie que la probabilité de passer de l'état 1 à l'état 2 en exactement 2 étapes est 0{,}72.