Calculer les probabilités de transition en 2 étapes

Énoncé

Soit P = pmatrix 0{,}4 & 0{,}6 0{,}2 & 0{,}8 pmatrix la matrice de transition d'une chaîne de Markov. Calculer P^2 et interpréter le coefficient (P^2)_{1,2}.

Indice : Calcule P^2 = P P. Le coefficient (P^2)_{i,j} donne la probabilité de passer de l'état i à l'état j en exactement 2 étapes.

Correction

1. Étape 1 : Le théorème des chemins a son équivalent probabiliste, et c'est le même calcul : Transitions en k étapes : (P^k)_{i,j} = probabilité de passer de l'état i à l'état j en exactement k étapes. Là où M^k COMPTAIT les chemins, P^k additionne leurs probabilités.
2. Étape 2 : Première ligne. Chaque coefficient somme les deux façons de faire le trajet en deux étapes :

   (P^2)_{1,1} = 0{,4 0{,}4}_{111} + 0{,6 0{,}2}_{121} = 0{,}16 + 0{,}12 = 0{,}28

3. Étape 3 : De même pour l'autre coefficient de la ligne :

   (P^2)_{1,2} = 0{,4 0{,}6}_{112} + 0{,6 0{,}8}_{122} = 0{,}24 + 0{,}48 = 0{,}72

4. Étape 4 : Deuxième ligne, par le même découpage :

   (P^2)_{2,1} = 0{,}08 + 0{,}16 = 0{,}24 (P^2)_{2,2} = 0{,}12 + 0{,}64 = 0{,}76

5. Étape 5 : D'où la matrice des transitions en deux étapes :

   P^2 = pmatrix 0{,}28 & 0{,}72 0{,}24 & 0{,}76 pmatrix

6. Étape 6 : Interprétation. (P^2)_{1,2} = 0{,}72 : partant de l'état 1, on a donc 72\,\% de chances d'être en 2 après deux étapes — en une seule, on n'en avait que 60\,\%.
7. Étape 7 : Contrôle : 0{,}28 + 0{,}72 = 1 et 0{,}24 + 0{,}76 = 1. Ne pas élever les coefficients au carré : P^2 n'est pas la matrice des p_{i,j}^2 : cela donnerait 0{,}6^2 = 0{,}36 au lieu de 0{,}72, et les lignes ne sommeraient plus à 1. Le carré d'une MATRICE est un produit matriciel, pas un carré terme à terme. Une puissance de matrice stochastique reste stochastique : Ses lignes somment toujours à 1, à toute puissance. C'est le contrôle le plus rentable du chapitre : il coûte deux additions et attrape presque toutes les erreurs de produit.