Calculer la distribution de probabilité après une étape

Énoncé

Soit une chaîne de Markov avec la matrice de transition P = pmatrix 0{,}5 & 0{,}5 0{,}3 & 0{,}7 pmatrix et la distribution initiale ^{(0)} = (0{,}6, 0{,}4). Calculer la distribution ^{(1)} après une étape.

Indice : Utilise la formule ^{(1)} = ^{(0)} P.

Correction

1. Étape 1 : Une distribution est un vecteur ligne : ^{(0)} = (0{,}6\,;\,0{,}4) se lit « 60\,\% de chances d'être dans l'état 1, 40\,\% dans l'état 2 ». On la fait avancer d'une étape en multipliant à droite par P. Évolution d'une chaîne de Markov : ^{(n+1)} = ^{(n)} P, et plus généralement ^{(n)} = ^{(0)} P^n
2. Étape 2 : Chaque composante est une somme de chemins. Pour être en 1 après une étape, il faut y être resté (depuis 1) ou y être arrivé (depuis 2) :

   ^{(1)}_1 = 0{,6 0{,}5}_{1 1} + 0{,4 0{,}3}_{2 1} = 0{,}30 + 0{,}12 = 0{,}42

3. Étape 3 : De même pour l'état 2 :

   ^{(1)}_2 = 0{,6 0{,}5}_{1 2} + 0{,4 0{,}7}_{2 2} = 0{,}30 + 0{,}28 = 0{,}58

4. Étape 4 : D'où la distribution après une étape :

   ^{(1)} = (0{,}42\ ;\ 0{,}58)

5. Étape 5 : Contrôle obligatoire : 0{,}42 + 0{,}58 = 1. Une distribution de probabilité somme toujours à 1, et cette vérification attrape la quasi-totalité des erreurs de produit. P et P ne sont pas la même chose : Avec en vecteur ligne, seul P a un sens dimensionnel : (1 2) (2 2) donne (1 2). Écrire P oblige à transposer, et l'on obtient alors des sommes de colonnes — donc des nombres qui ne somment pas à 1. Lire le résultat avant de passer à la suite : La masse s'est déplacée de 1 vers 2 (0{,}40 0{,}58), ce qui est cohérent : la ligne 2 de P retient 70\,\% de ce qui s'y trouve, alors que la ligne 1 n'en retient que 50\,\%. L'état 2 est plus « collant ».