Vérifier qu'une matrice est stochastique

Énoncé

Vérifier que la matrice P = pmatrix 0{,}3 & 0{,}7 0{,}5 & 0{,}5 pmatrix est une matrice stochastique (matrice de transition d'une chaîne de Markov).

Indice : Une matrice stochastique a tous ses coefficients positifs ou nuls, et la somme de chaque ligne vaut 1.

Correction

1. Étape 1 : Une matrice stochastique n'est pas un objet de calcul mais une famille de lois de probabilité : chaque ligne en est une. Deux conditions à vérifier, et elles portent toutes deux sur les lignes. Matrice stochastique : (1) tous les coefficients sont dans [0\,;\,1] (2) la somme de chaque ligne vaut 1
2. Étape 2 : Condition 1. Les quatre coefficients 0{,}3 ; 0{,}7 ; 0{,}5 ; 0{,}5 sont positifs et inférieurs à 1.
3. Étape 3 : Condition 2, ligne par ligne :

   0{,}3 + 0{,}7 = 1 0{,}5 + 0{,}5 = 1

4. Étape 4 : P est donc une matrice stochastique, c'est-à-dire une matrice de transition valide.
5. Étape 5 : Le sens de la condition. La ligne 1 est (0{,}3\,;\,0{,}7) : partant de l'état 1, on reste avec probabilité 0{,}3 et l'on passe en 2 avec probabilité 0{,}7. Comme il faut bien aller quelque part, ces probabilités somment à 1. Les LIGNES, pas les colonnes : Ici les colonnes somment à 0{,}8 et 1{,}2 — et ce n'est pas une erreur. Une colonne rassemble les probabilités d'ARRIVER dans un état depuis différents départs : rien n'impose qu'elles somment à 1. Vérifier les colonnes ferait rejeter une matrice parfaitement valide. Pourquoi la convention est celle-là : On écrit ^{(1)} = ^{(0)}P avec en vecteur LIGNE. Le produit combine alors les lignes de P, chacune étant une loi complète. La convention des lignes découle de cette écriture — la changer obligerait à transposer partout.