Propriétés du déterminant et de l'inverse

Énoncé

Soient A et B deux matrices carrées inversibles d'ordre n. Démontrer que (AB) = (A) (B) et que (AB)^{-1} = B^{-1}A^{-1}.

Indice : Pour la première propriété, utilise le fait que (AB) = (A) (B) est une propriété fondamentale. Pour la seconde, vérifie que (AB)(B^{-1}A^{-1}) = I_n.

Correction

1. Étape 1 : Pour démontrer (AB) = (A) (B), on utilise la propriété fondamentale du déterminant d'un produit de matrices.

   (AB) = (A) (B)

2. Étape 2 : Pour démontrer (AB)^{-1} = B^{-1}A^{-1}, on vérifie que (AB)(B^{-1}A^{-1}) = I_n.

   (AB)(B^{-1}A^{-1}) = A(BB^{-1})A^{-1} = AI_nA^{-1} = AA^{-1} = I_n

3. Étape 3 : De même, (B^{-1}A^{-1})(AB) = B^{-1}(A^{-1}A)B = B^{-1}I_nB = B^{-1}B = I_n.
4. Étape 4 : Comme (AB)(B^{-1}A^{-1}) = (B^{-1}A^{-1})(AB) = I_n, on a bien (AB)^{-1} = B^{-1}A^{-1}.