Inverse d'un produit de matrices

Énoncé

Soient A et B deux matrices carrées inversibles de même ordre. a) Démontrer que AB est inversible et que (AB)^{-1} = B^{-1}A^{-1}. b) L'égalité (AB)^{-1} = A^{-1}B^{-1} est-elle vraie en général ? Justifier à l'aide de A = pmatrix 1 & 1 0 & 1 pmatrix et B = pmatrix 1 & 0 1 & 1 pmatrix.

Indice : Pour montrer qu'une matrice M est l'inverse de N, il suffit de vérifier que MN = I. Et pour la question b), calcule les deux produits proposés : ils ne peuvent pas être tous deux égaux à l'identité.

Correction

1. Étape 1 : Pour prouver qu'une matrice est l'inverse d'une autre, on ne « calcule » rien : on vérifie que leur produit vaut l'identité. C'est la définition, et c'est tout ce dont on a besoin. Caractérisation de l'inverse : Si MN = I et NM = I, alors M et N sont inverses l'une de l'autre.
2. Étape 2 : a) On multiplie AB par la matrice candidate B^{-1}A^{-1}, et l'on associe les facteurs du milieu :

   (AB)(B^{-1}A^{-1}) = A\,(B B^{-1})\,A^{-1}

3. Étape 3 : Le produit central vaut l'identité, qui disparaît :

   = A I A^{-1} = A A^{-1} = I

4. Étape 4 : On vérifie l'autre sens, car la multiplication n'est pas commutative :

   (B^{-1}A^{-1})(AB) = B^{-1}(A^{-1}A)B = B^{-1}B = I

5. Étape 5 : Les deux produits valent I, donc AB est inversible et son inverse est bien :

   (AB)^{-1} = B^{-1}A^{-1}

6. Étape 6 : b) Prenons les deux matrices proposées. Leurs inverses se lisent immédiatement, puisqu'il suffit de changer le signe du coefficient hors diagonale :

   A^{-1} = pmatrix 1 & -1 0 & 1 pmatrix B^{-1} = pmatrix 1 & 0 -1 & 1 pmatrix

7. Étape 7 : On calcule le produit AB :

   AB = pmatrix 1&1 0&1 pmatrixpmatrix 1&0 1&1 pmatrix = pmatrix 2&1 1&1 pmatrix

8. Étape 8 : Puis le candidat A^{-1}B^{-1} :

   A^{-1}B^{-1} = pmatrix 1&-1 0&1 pmatrixpmatrix 1&0 -1&1 pmatrix = pmatrix 2&-1 -1&1 pmatrix

9. Étape 9 : On teste : le produit de AB par ce candidat devrait valoir I :

   pmatrix 2&1 1&1 pmatrixpmatrix 2&-1 -1&1 pmatrix = pmatrix 3&-1 1&0 pmatrix I

10. Étape 10 : L'égalité est donc fausse en général. Le bon inverse est B^{-1}A^{-1} = pmatrix 1&-1 -1&2 pmatrix, et l'on vérifie que pmatrix 2&1 1&1 pmatrixpmatrix 1&-1 -1&2 pmatrix = I ✓. L'ordre s'INVERSE, comme pour les vêtements : On enfile la chemise puis la veste ; pour se déshabiller, on retire la veste puis la chemise. (AB)^{-1} = B^{-1}A^{-1} dit exactement cela : défaire AB commence par défaire B. Écrire A^{-1}B^{-1} reviendrait à retirer la chemise en premier. Un contre-exemple vaut mieux qu'un long discours : Pour réfuter une égalité générale, il suffit d'UN cas. Et le choisir simple — ici deux matrices triangulaires dont les inverses se lisent à vue — évite que le calcul devienne l'obstacle.