Un système dont la matrice n'est pas inversible

Énoncé

On considère le système : [formule] a) Montrer que la matrice du système n'est pas inversible. b) Déterminer l'ensemble des solutions.

Indice : Regarde les deux premières équations : que remarques-tu ? Une matrice dont deux lignes sont proportionnelles ne peut pas être inversible.

Correction

1. Étape 1 : Tous les systèmes n'ont pas une solution unique. Quand la matrice n'est pas inversible, la méthode du 38012 ne s'applique plus — et il faut revenir aux équations elles-mêmes. Le premier réflexe est donc de regarder les lignes avant de calculer quoi que ce soit.
2. Étape 2 : a) La deuxième équation est le double de la première :

   2x + 2y + 2z = 2\,(x + y + z)

3. Étape 3 : La deuxième ligne de la matrice est donc le double de la première :

   A = pmatrix 1&1&1 2&2&2 1&-1&1 pmatrix, L_2 = 2L_1

4. Étape 4 : Pourquoi cela empêche l'inversibilité. Si A était inversible, le système AX = 0 n'aurait que la solution nulle. Or la colonne pmatrix 1 0 -1 pmatrix le vérifie : 1 - 1 = 0 sur les lignes 1 et 2, et 1 - 1 = 0 sur la ligne 3. Une solution non nulle existe, donc A n'est pas inversible.

   Apmatrix 1 0 -1 pmatrix = pmatrix 0 0 0 pmatrix

5. Étape 5 : b) La deuxième équation n'apporte rien — elle est vérifiée dès que la première l'est. Il reste donc deux équations pour trois inconnues :

   cases x + y + z = 3 x - y + z = 1 cases

6. Étape 6 : On soustrait la seconde à la première, ce qui élimine x et z d'un coup :

   2y = 2 y = 1

7. Étape 7 : On reporte dans la première : x + 1 + z = 3, donc x + z = 2. Une seule relation lie encore x et z : l'un des deux reste libre.

   z = 2 - x

8. Étape 8 : L'ensemble des solutions est donc infini, décrit par un paramètre :

   S = \{ (x\,;\,1\,;\,2-x) \ |\ x R \}

9. Étape 9 : Vérification sur deux valeurs. Pour x = 0 : (0\,;\,1\,;\,2) donne 0+1+2 = 3 ✓ et 0-1+2 = 1 ✓. Pour x = 5 : (5\,;\,1\,;\,-3) donne 5+1-3 = 3 ✓ et 5-1-3 = 1 ✓. Géométriquement, les trois équations décrivent trois plans — mais deux d'entre eux sont confondus, si bien que l'intersection est une droite au lieu d'un point. Une équation redondante n'est pas une équation en trop à SUPPRIMER sans le dire : Il faut JUSTIFIER qu'elle n'apporte rien — ici parce qu'elle est proportionnelle à une autre. Et si le second membre n'avait pas suivi la même proportion (par exemple 2x+2y+2z = 7), le système n'aurait AUCUNE solution : on demanderait à la fois x+y+z = 3 et x+y+z = 3{,}5. Trois cas, et un seul se traite par l'inverse : Matrice inversible ⟹ une solution (38012). Matrice non inversible et équations compatibles ⟹ une infinité (ici). Matrice non inversible et équations contradictoires ⟹ aucune. Regarder les lignes avant de calculer dit tout de suite dans quel cas on est.