Déterminer le nombre de solutions d'un système

Énoncé

Déterminer le nombre de solutions du système suivant : [formule]

Indice : Calcule le rang de la matrice A et le rang de la matrice augmentée [A | B] pour appliquer le théorème de Rouché-Fontené.

Correction

1. Étape 1 : On écrit la matrice A et la matrice augmentée [A | B].

   A = pmatrix 1 & 1 & 1 2 & 2 & 2 1 & -1 & 1 pmatrix, [A | B] = pmatrix 1 & 1 & 1 & | & 3 2 & 2 & 2 & | & 6 1 & -1 & 1 & | & 1 pmatrix

2. Étape 2 : On remarque que la ligne 2 de A est le double de la ligne 1, donc le rang de A est au plus 2. Les lignes 1 et 3 sont linéairement indépendantes, donc rang(A) = 2.
3. Étape 3 : Pour la matrice augmentée, la ligne 2 est aussi le double de la ligne 1, donc rang([A | B]) = 2 également.
4. Étape 4 : Comme rang(A) = rang([A | B]) = 2 < 3 (nombre d'inconnues), le système admet une infinité de solutions dépendant d'un paramètre.