Suite de matrices colonnes avec second membre

Énoncé

Deux entrepôts A et B se répartissent un stock. Chaque mois, l'entrepôt A conserve 60\,\% de son stock et reçoit 20\,\% de celui de B ; l'entrepôt B conserve 70\,\% du sien et reçoit 10\,\% de celui de A. De plus, 40 unités sont livrées chaque mois en A et 60 en B. On note U_n = pmatrix a_n b_n pmatrix les stocks après n mois, avec U_0 = pmatrix 0 0 pmatrix. a) Écrire la relation U_{n+1} = M\,U_n + L. b) Déterminer l'état stable, c'est-à-dire la colonne U vérifiant U = M\,U + L.

Indice : L'état stable se trouve en résolvant U = MU + L, c'est-à-dire (I - M)\,U = L — un système de deux équations à deux inconnues.

Correction

1. Étape 1 : Un second membre change la nature du problème : la suite n'est plus « géométrique » mais affine. Elle ne tend donc plus vers zéro ou vers l'infini, mais vers un état stable — la valeur qui, une fois atteinte, ne bouge plus. État stable : U est stable lorsque U = M\,U + L, ce qui s'écrit (I - M)\,U = L.
2. Étape 2 : a) On traduit l'énoncé. Le stock de A au mois suivant vient de 60\,\% de A, de 20\,\% de B, plus les 40 unités livrées :

   a_{n+1} = 0{,}6\,a_n + 0{,}2\,b_n + 40

3. Étape 3 : De même pour B :

   b_{n+1} = 0{,}1\,a_n + 0{,}7\,b_n + 60

4. Étape 4 : D'où l'écriture matricielle, la colonne L rassemblant les livraisons :

   U_{n+1} = {pmatrix 0{,}6 & 0{,}2 0{,}1 & 0{,}7 pmatrix}_{M} U_n + {pmatrix 40 60 pmatrix}_{L}

5. Étape 5 : b) On pose l'équation de l'état stable et l'on regroupe les termes en U :

   U = MU + L U - MU = L (I - M)\,U = L

6. Étape 6 : On calcule I - M, en soustrayant coefficient par coefficient :

   I - M = pmatrix 1&0 0&1 pmatrix - pmatrix 0{,}6&0{,}2 0{,}1&0{,}7 pmatrix = pmatrix 0{,}4 & -0{,}2 -0{,}1 & 0{,}3 pmatrix

7. Étape 7 : Le système à résoudre est donc :

   cases 0{,}4\,a - 0{,}2\,b = 40 -0{,}1\,a + 0{,}3\,b = 60 cases

8. Étape 8 : On élimine a en multipliant la seconde équation par 4 et en l'ajoutant à la première :

   (0{,}4a - 0{,}2b) + 4(-0{,}1a + 0{,}3b) = 40 + 240 b = 280

9. Étape 9 : On remonte à a dans la première équation :

   0{,}4a = 40 + 0{,}2 280 = 96 a = 240

10. Étape 10 : L'état stable est donc :

    U = pmatrix 240 280 pmatrix

11. Étape 11 : Vérification, indispensable : on remplace dans MU + L et l'on doit retrouver U. Pour la première composante : 0{,}6 240 + 0{,}2 280 + 40 = 144 + 56 + 40 = 240 ✓. Pour la seconde : 0{,}1 240 + 0{,}7 280 + 60 = 24 + 196 + 60 = 280 ✓.
12. Étape 12 : La suite s'en approche effectivement : partant de (0\,;\,0), on obtient (40\,;\,60), puis (76\,;\,106), puis (106{,}8\,;\,141{,}8)… et après vingt mois (236{,}9\,;\,276{,}9) — très proche de l'état stable, sans jamais l'atteindre exactement. L'état stable n'est PAS forcément atteint : Il est la LIMITE de la suite, pas une valeur qu'elle prend. Et il n'existe que si I - M est inversible : si 1 est « valeur propre » de M, le système (I-M)U = L n'a aucune solution, ou une infinité, et la suite ne se stabilise pas. Le contrôle qui valide tout d'un coup : Remplacer l'état stable trouvé dans la relation de départ U = MU + L. Si l'on retrouve exactement U, les deux composantes sont bonnes ; sinon l'erreur est dans la résolution du système, et il est inutile de chercher ailleurs.