Calculer l'inverse par la méthode de Gauss-Jordan

Énoncé

Calculer l'inverse de la matrice suivante en utilisant la méthode de Gauss-Jordan : [formule]

Indice : Forme la matrice augmentée [A | I_2] et applique des opérations élémentaires pour transformer A en I_2.

Correction

1. Étape 1 : On forme la matrice augmentée [A | I_2].

   [A | I_2] = pmatrix 1 & 2 & | & 1 & 0 3 & 4 & | & 0 & 1 pmatrix

2. Étape 2 : On élimine le coefficient a_{2,1} : L_2 L_2 - 3L_1.

   pmatrix 1 & 2 & | & 1 & 0 0 & -2 & | & -3 & 1 pmatrix

3. Étape 3 : On normalise la ligne 2 : L_2 -1{2} L_2.

   pmatrix 1 & 2 & | & 1 & 0 0 & 1 & | & 3{2} & -1{2} pmatrix

4. Étape 4 : On élimine le coefficient a_{1,2} : L_1 L_1 - 2L_2.

   pmatrix 1 & 0 & | & -2 & 1 0 & 1 & | & 3{2} & -1{2} pmatrix

5. Étape 5 : La partie droite de la matrice augmentée est maintenant A^{-1}.

   A^{-1} = pmatrix -2 & 1 3{2} & -1{2} pmatrix