Résoudre un système d'ordre 3 par la matrice inverse

Énoncé

Résoudre le système suivant en l'écrivant sous forme matricielle : [formule] On admettra que A^{-1} = pmatrix 1 & 1 & -1 1 & -2 & 1 -1 & 1 & 0 pmatrix, où A est la matrice du système.

Indice : Écris le système sous la forme AX = B, puis multiplie à gauche par A^{-1}. Vérifie d'abord que l'inverse donnée est correcte en calculant A A^{-1}.

Correction

1. Étape 1 : Un système linéaire s'écrit toujours AX = B : la matrice des coefficients, la colonne des inconnues, la colonne des seconds membres. Si A est inversible, la solution est unique et donnée par une seule multiplication. Résolution matricielle : AX = B avec A inversible X = A^{-1}B ⚠️ On multiplie à gauche des deux côtés : A^{-1}(AX) = A^{-1}B, et A^{-1}A = I.
2. Étape 2 : On écrit le système sous forme matricielle, en lisant les coefficients ligne par ligne :

   {pmatrix 1&1&1 1&1&2 1&2&3 pmatrix}_{A}{pmatrix x y z pmatrix}_{X} = {pmatrix 6 9 14 pmatrix}_{B}

3. Étape 3 : On vérifie l'inverse donnée — cela coûte un produit et garantit tout le reste. Première ligne de A contre première colonne de A^{-1} :

   1 1 + 1 1 + 1 (-1) = 1

4. Étape 4 : En poursuivant pour les neuf coefficients, on obtient bien la matrice identité :

   A A^{-1} = pmatrix 1&0&0 0&1&0 0&0&1 pmatrix = I_3

5. Étape 5 : On applique X = A^{-1}B. Première ligne de A^{-1} contre B :

   x = 1 6 + 1 9 + (-1) 14 = 6 + 9 - 14 = 1

6. Étape 6 : Deuxième ligne :

   y = 1 6 + (-2) 9 + 1 14 = 6 - 18 + 14 = 2

7. Étape 7 : Troisième ligne :

   z = (-1) 6 + 1 9 + 0 14 = -6 + 9 = 3

8. Étape 8 : La solution est donc unique :

   X = pmatrix 1 2 3 pmatrix

9. Étape 9 : Vérification dans les TROIS équations de départ, jamais dans la seule première : 1+2+3 = 6 ✓, 1+2+6 = 9 ✓, 1+4+9 = 14 ✓. Multiplier à GAUCHE, et seulement à gauche : De AX = B, multiplier à droite donnerait AXA^{-1}, qui ne simplifie rien — le produit de matrices n'est pas commutatif. Et l'ordre X = BA^{-1} est même impossible dimensionnellement : une colonne 3 1 ne peut pas multiplier une matrice 3 3. Vérifier l'inverse avant de s'en servir : Un produit A A^{-1} qui ne rend pas l'identité signale une erreur de recopie — et tout le reste du calcul serait faux sans que rien ne le montre. Sur une matrice d'ordre 3, la calculatrice donne l'inverse ; le contrôle, lui, se fait à la main.