Expression explicite des termes d'une suite matricielle

Énoncé

On reprend les suites de l'exercice précédent : x_0 = 1, y_0 = 0, et [formule] On pose s_n = x_n + y_n et d_n = x_n - y_n. a) Montrer que (s_n) est géométrique et que (d_n) est constante. b) En déduire les expressions de x_n et y_n en fonction de n.

Indice : Additionne puis soustrais les deux relations de récurrence : les deux nouvelles suites obtenues sont bien plus simples que celles de départ.

Correction

1. Étape 1 : Calculer A^{\,n} n'est pas la seule voie. Ici, un changement de suites rend le problème immédiat : en additionnant et en soustrayant les deux relations, on obtient deux suites qui n'ont plus besoin l'une de l'autre. C'est la méthode à connaître quand la matrice n'est pas triangulaire.
2. Étape 2 : a) On additionne les deux relations de récurrence :

   x_{n+1} + y_{n+1} = (2x_n + y_n) + (x_n + 2y_n) = 3x_n + 3y_n = 3(x_n + y_n)

3. Étape 3 : Autrement dit s_{n+1} = 3\,s_n : la suite (s_n) est géométrique de raison 3, de premier terme s_0 = 1 + 0 = 1. Donc :

   s_n = 3^{\,n}

4. Étape 4 : On soustrait maintenant les deux relations :

   x_{n+1} - y_{n+1} = (2x_n + y_n) - (x_n + 2y_n) = x_n - y_n

5. Étape 5 : Donc d_{n+1} = d_n : la suite (d_n) est constante, égale à d_0 = 1 - 0 = 1.

   d_n = 1

6. Étape 6 : b) On revient à x_n et y_n. Connaissant leur somme et leur différence, on les retrouve par demi-somme et demi-différence :

   x_n = s_n + d_n{2} = 3^{\,n+1}{2} y_n = s_n - d_n{2} = 3^{\,n-1}{2}

7. Étape 7 : Vérification sur les valeurs du 38010. Pour n = 3 : 27+1{2} = 14 et 27-1{2} = 13, ce qui redonne bien U_3 = pmatrix 14 13 pmatrix ✓. Et pour n = 4 : 41 et 40.
8. Étape 8 : Les termes sont bien entiers, et ce n'est pas un hasard : 3^{\,n} est toujours impair, donc 3^{\,n} 1 est toujours pair. Additionner ET soustraire, pas l'un ou l'autre : La seule somme donne s_n, mais deux inconnues restent. C'est le COUPLE somme-différence qui permet de remonter à x_n et y_n — et cela ne marche que parce que le système est symétrique. Sur un système quelconque, il faudrait passer par A^{\,n}. Reconnaître quand la méthode s'applique : Elle marche quand A est de la forme pmatrix a & b b & a pmatrix : la somme est alors multipliée par a+b, et la différence par a-b. Ici a+b = 3 et a-b = 1, ce qui donne exactement les deux raisons trouvées.