Développement par cofacteurs

Énoncé

Calculer le déterminant de la matrice suivante en développant selon la première ligne : [formule]

Indice : Utilise le développement par cofacteurs : (A) = _{j=1}^{3} (-1)^{1+j} a_{1,j} M_{1,j} où M_{1,j} est le mineur.

Correction

1. Étape 1 : On développe selon la première ligne : (A) = 2C_{1,1} + 1C_{1,2} + 0C_{1,3}.
2. Étape 2 : On calcule C_{1,1} = (-1)^{1+1} M_{1,1} où M_{1,1} est le déterminant de la matrice obtenue en supprimant la ligne 1 et la colonne 1.

   M_{1,1} = vmatrix 3 & 2 1 & 1 vmatrix = 3 - 2 = 1, C_{1,1} = 1 1 = 1

3. Étape 3 : On calcule C_{1,2} = (-1)^{1+2} M_{1,2}.

   M_{1,2} = vmatrix 1 & 2 0 & 1 vmatrix = 1 - 0 = 1, C_{1,2} = -1 1 = -1

4. Étape 4 : Comme a_{1,3} = 0, le terme C_{1,3} n'intervient pas. On calcule le déterminant.

   (A) = 2 1 + 1 (-1) + 0 = 2 - 1 = 1