Suite de matrices colonnes

Énoncé

On considère les suites (x_n) et (y_n) définies par x_0 = 1, y_0 = 0 et, pour tout n 0 : [formule] a) Écrire ce système sous la forme U_{n+1} = A\,U_n, où U_n = pmatrix x_n y_n pmatrix. b) Calculer U_1, U_2 et U_3.

Indice : La matrice A se lit directement sur les coefficients du système : ligne par ligne.

Correction

1. Étape 1 : Deux suites qui se répondent l'une l'autre ne peuvent pas s'étudier séparément. Les empiler dans une colonne transforme le système en une seule relation, du type U_{n+1} = A\,U_n — c'est-à-dire une suite géométrique, mais de matrices. Écriture matricielle d'un système récurrent : cases x_{n+1} = a x_n + b y_n y_{n+1} = c x_n + d y_n cases s'écrit U_{n+1} = A\,U_n avec A = pmatrix a & b c & d pmatrix
2. Étape 2 : a) On lit les coefficients ligne par ligne. La première équation donne la première ligne de A, la seconde la deuxième :

   A = pmatrix 2 & 1 1 & 2 pmatrix U_0 = pmatrix 1 0 pmatrix

3. Étape 3 : b) On calcule U_1 = A\,U_0, avec la méthode du 38005 :

   U_1 = pmatrix 2 & 1 1 & 2 pmatrixpmatrix 1 0 pmatrix = pmatrix 2 1 pmatrix

4. Étape 4 : Puis U_2 = A\,U_1 :

   U_2 = pmatrix 2 & 1 1 & 2 pmatrixpmatrix 2 1 pmatrix = pmatrix 5 4 pmatrix

5. Étape 5 : Et U_3 = A\,U_2 :

   U_3 = pmatrix 2 & 1 1 & 2 pmatrixpmatrix 5 4 pmatrix = pmatrix 14 13 pmatrix

6. Étape 6 : Deux régularités sautent aux yeux, et elles serviront à l'exercice 38011 : la différence x_n - y_n vaut toujours 1, et la somme x_n + y_n donne 1, 3, 9, 27 — les puissances de 3.

   x_n - y_n = 1 x_n + y_n = 3^{\,n}

7. Étape 7 : Contrôle du calcul. Chaque somme doit être le triple de la précédente, puisque les deux lignes de A somment à 3 : 1 3 9 27 ✓. Ne pas transposer la matrice : La PREMIÈRE équation donne la PREMIÈRE ligne. Ici A est symétrique, donc l'erreur ne se verrait pas. Avec x_{n+1} = 2x_n + y_n et y_{n+1} = 3x_n, la matrice est pmatrix 2 & 1 3 & 0 pmatrix — et sa transposée décrirait un tout autre système. Calculer de proche en proche, jamais par A^n : Pour trois termes, l'enchaînement U_0 U_1 U_2 U_3 est immédiat. La formule U_n = A^{\,n}U_0 ne devient utile qu'à partir du moment où l'on connaît A^{\,n} — ou, comme au 38011, quand on trouve un chemin plus malin.