Résoudre un système linéaire par la méthode matricielle

Énoncé

Résoudre le système suivant en utilisant les matrices : [formule]

Indice : Écris le système sous la forme AX = B, puis calcule X = A^{-1}B.

Correction

1. Étape 1 : Un système linéaire s'écrit matriciellement AX = B, et se résout alors comme une équation ordinaire. La méthode matricielle : 1. écrire AX = B en identifiant les trois matrices ; 2. vérifier que (A) 0 — sinon la méthode ne s'applique pas ; 3. calculer A^{-1} ; 4. multiplier : X = A^{-1}B. 👉 L'analogie avec les nombres est parfaite : ax = b se résout en x = b{a}, à condition que a 0. Ici A^{-1} joue le rôle de 1{a}, et (A) 0 celui de a 0. ⚠️ Une seule différence, mais elle est importante : X = A^{-1}B et non BA^{-1} — la multiplication matricielle n'étant pas commutative, le côté compte.
2. Étape 2 : L'écriture matricielle. Le système [formule] s'écrit AX = B avec [formule] 👉 Les coefficients des inconnues forment A, ligne par ligne, en respectant l'ordre x puis y. Une inconnue absente donnerait un 0. Le test : (A) = 2(-1) - 11 = -2 - 1 = -3 0 ✓

   (A) = -3 0

3. Étape 3 : L'inverse, par la formule : on échange 2 et -1, on change le signe des deux autres, on divise par -3 : A^{-1} = 1{-3}pmatrix -1 & -1 -1 & 2 pmatrix = pmatrix 1{3} & 1{3} 1{3} & -2{3} pmatrix ⚠️ Attention aux doubles signes : -1{-3} = 1{3} et 2{-3} = -2{3}. La solution : X = A^{-1}B = pmatrix 1{3} & 1{3} 1{3} & -2{3} pmatrixpmatrix 5 1 pmatrix x = 5{3} + 1{3} = 6{3} = 2 · y = 5{3} - 2{3} = 3{3} = 1 [formule]

   x = 2 \ ; y = 1

4. Étape 4 : La vérification dans le système de départ — indispensable, car le calcul a traversé des fractions : première équation : 22 + 1 = 5 ✓ seconde équation : 2 - 1 = 1 ✓ 👉 Ce contrôle est indépendant de toute la démarche matricielle : il teste directement la réponse contre l'énoncé. C'est le meilleur contrôle possible. ℹ️ Pour un système 22, cette méthode est plus longue qu'une substitution. Son intérêt est ailleurs : elle se généralise à n inconnues sans changer d'un mot, et elle s'automatise — c'est ainsi qu'un ordinateur résout des systèmes de milliers d'équations.

   2 2 + 1 = 5 \ \ ; 2 - 1 = 1 \

5. Étape 5 : L'erreur classique : Calculer BA^{-1} au lieu de A^{-1}B. D'abord ce produit n'est souvent même pas défini (les tailles ne s'emboîtent pas) ; et quand il l'est, il donne autre chose. Le côté compte, puisque la multiplication n'est pas commutative. 👉 Le repère : on part de AX = B, on multiplie à gauche par A^{-1} des deux côtés — donc A^{-1}AX = A^{-1}B, soit X = A^{-1}B. À retenir : AX = B X = A^{-1}B, à condition que (A) 0. 👉 Et toujours vérifier dans le système de départ : c'est un contrôle indépendant de tout le calcul matriciel.