Calculer l'inverse d'une matrice d'ordre 2

Énoncé

Soit A = pmatrix 2 & 1 3 & 4 pmatrix. Vérifier que A est inversible, puis calculer A^{-1}.

Indice : Vérifie d'abord que (A) 0. Ensuite, utilise la formule A^{-1} = 1{(A)} pmatrix d & -b -c & a pmatrix pour A = pmatrix a & b c & d pmatrix.

Correction

1. Étape 1 : L'inverse d'une matrice joue le rôle de 1{a} pour les nombres : c'est la matrice qui, multipliée par A, donne l'identité. Inverse d'une matrice d'ordre 2 : Si (A) 0, alors A est inversible et [formule] 👉 Comment retenir la matrice de droite : on échange les termes de la diagonale principale (a et d), et l'on change le signe des deux autres (b et c). Trois gestes, pas davantage. ⚠️ Le test du déterminant vient EN PREMIER : si (A) = 0, la matrice n'est pas inversible, et il n'y a rien à calculer. Diviser par zéro n'a pas plus de sens ici qu'ailleurs.
2. Étape 2 : Le test. Pour A = pmatrix 2 & 1 3 & 4 pmatrix : (A) = 2 4 - 1 3 = 8 - 3 = 5 [formule] La formule. On échange 2 et 4, on change le signe de 1 et 3 : [formule]

   A^{-1} = 1{5}pmatrix 4 & -1 -3 & 2 pmatrix

3. Étape 3 : La vérification est obligatoire — et elle est rapide, car le facteur 1{5} se met de côté : A A^{-1} = 1{5}pmatrix 2 & 1 3 & 4 pmatrixpmatrix 4 & -1 -3 & 2 pmatrix Case par case : (1,1) : 24 + 1(-3) = 8 - 3 = 5 (1,2) : 2(-1) + 12 = -2+2 = 0 (2,1) : 34 + 4(-3) = 12-12 = 0 (2,2) : 3(-1) + 42 = -3+8 = 5 [formule] 👉 Les 5 hors diagonale s'annulent d'eux-mêmes — c'est le signe que la formule est correctement appliquée.

   A A^{-1} = I_2 \

4. Étape 4 : ℹ️ Un contrôle plus rapide encore, par le déterminant : [formule] Ici : (A^{-1}) = 4{5}2{5} - (-1{5})(-3{5}) = 8{25} - 3{25} = 5{25} = 1{5} ✓ Et 1{(A)} = 1{5} ✓ 👉 Ce contrôle ne demande que deux multiplications, contre huit pour le produit complet. Il ne prouve pas tout (deux matrices différentes peuvent avoir le même déterminant), mais il attrape la plupart des erreurs de signe.

   (A^{-1}) = 1{(A)}

5. Étape 5 : L'erreur classique : Oublier de changer les signes de b et c, ou échanger les mauvais coefficients. Un seul signe faux, et le produit AA^{-1} ne donne plus l'identité. C'est pourquoi la vérification n'est pas facultative : elle est le seul moyen d'attraper l'erreur. 👉 Le repère mnémotechnique : on échange la diagonale, on change le signe de l'anti-diagonale. Deux gestes distincts, appliqués à deux paires distinctes. À retenir : Déterminant d'abord — s'il est nul, tout s'arrête là. 👉 Puis : échanger a et d, changer le signe de b et c, diviser par . Et vérifier que AA^{-1} = I.