Calculer la puissance d'une matrice

Énoncé

Soit A = pmatrix 1 & 1 0 & 1 pmatrix. Calculer A^3.

Indice : Calcule d'abord A^2 = A A, puis A^3 = A^2 A.

Correction

1. Étape 1 : Élever une matrice à une puissance, c'est la multiplier par elle-même — mais chercher la structure vaut mieux que multiplier aveuglément. 👉 Cette matrice pmatrix 1 & 1 0 & 1 pmatrix est particulière : elle est triangulaire supérieure avec des 1 sur la diagonale. Ses puissances vont suivre un motif qu'on peut deviner dès le premier calcul. Puissances de matrice : Calculer A^2, puis A^3, et observer. Si un motif apparaît, on peut le conjecturer puis le démontrer par récurrence.
2. Étape 2 : Le carré. A^2 = A A, case par case (ligne colonne) : (A^2)_{1,1} = 11 + 10 = 1 · (A^2)_{1,2} = 11 + 11 = 2 (A^2)_{2,1} = 01 + 10 = 0 · (A^2)_{2,2} = 01 + 11 = 1 [formule]

   A^2 = pmatrix 1 & 2 0 & 1 pmatrix

3. Étape 3 : Le cube. A^3 = A^2 A : (A^3)_{1,1} = 11 + 20 = 1 · (A^3)_{1,2} = 11 + 21 = 3 (A^3)_{2,1} = 0 · (A^3)_{2,2} = 1 [formule] 👉 Le motif saute aux yeux : seul le coefficient en haut à droite change, et il vaut exactement l'exposant. [formule]

   A^n = pmatrix 1 & n 0 & 1 pmatrix

4. Étape 4 : 👉 La conjecture se démontre par récurrence, en deux lignes : Initialisation : A^1 = pmatrix 1 & 1 0 & 1 pmatrix ✓ Hérédité : si A^n = pmatrix 1 & n 0 & 1 pmatrix, alors A^{n+1} = A^n A = pmatrix 1 & n 0 & 1 pmatrixpmatrix 1 & 1 0 & 1 pmatrix = pmatrix 1 & n+1 0 & 1 pmatrix ✓ ℹ️ Interprétation géométrique : cette matrice décrit un cisaillement — elle décale horizontalement en proportion de la hauteur. L'appliquer n fois décale n fois plus, ce qui est exactement ce que dit la formule. Et son déterminant vaut 1 pour tout n, car (A^n) = ( A)^n = 1^n. Le cisaillement préserve donc les aires, aussi souvent qu'on le répète.

   (A^n) = 1 pour tout n

5. Étape 5 : L'erreur classique : Élever chaque coefficient à la puissance : écrire A^3 = pmatrix 1 & 1 0 & 1 pmatrix (chaque case au cube). Ce n'est pas ainsi qu'on élève une matrice : A^3 est le produit A A A au sens matriciel, pas une opération case par case. Le contrôle : notre résultat a un 3 en haut à droite, alors que 1^3 = 1. 👉 Même erreur que « multiplier case par case » en 38004 — l'analogie avec les nombres est constamment trompeuse. À retenir : Calculer A^2, A^3, observer le motif, puis le démontrer par récurrence. 👉 Et (A^n) = ( A)^n : un contrôle gratuit sur toute puissance de matrice.